内容发布更新时间 : 2024/4/28 17:13:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）

（A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak;

n??n?1k?n??n??n?1k?n?????

二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________

?2、设E是?0,1?上有理点全体，则

（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak;

n??n?1k?nn??n?1k?n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）

'E=______,E=______,E=______.

'on3、设是中点集，如果对任一点集T都REP?（A） c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P

?3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B)

sup?fn(x)?是可测函数（C）inf?fn(x)?是可测函数;（D）若

n_________________________________，则称E是L可测的 4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使_____________________________________,则称f(x)为

n?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反

例说明.(5分×4=20分)

1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。

fn(x)?f(x),则f(x)可测

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数

（C）f(x)在[a,b]上L可积 (D)

'?baf'(x)dx?f(b)?f(a)

2、若mE?0，则E一定是可数集.

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?3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则

2、（8分）求lim?n0ln(x?n)?xecosxdx n?Ef(x)?0

四、解答题（8分×2=16分）.

?x2,x为无理数1、（8分）设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R??1,x为有理数可积，是否L?可积，若可积，求出积分值。

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c

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2、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则

limn?men?0.

n

5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，存在闭子集F??E，使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

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