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第五章 定积分及其应用

习 题 5-1

1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）

?1?1?1xdx, （2）??RRR2?x2dx, （3）?20cosxdx, （4）??xdx.

1解：若x??a,b?时,f(x)?0,则?baf(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)，直线

x?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积. 若x??a,b?时，f(x)?0,则?bf(x)dx在几何

a上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，?1?1xdx?(?A1)?A1?0.

y y R A 1 1 -1 A 1 O 1 x A 2 ?R O R - 1 ( 1 )

x ( 2 )

y y 1 1 A 3 A 5 π O A 4 2 π x - 1 ( 3 )

A6?1 A6O 1 ?1 (4)

x （2）由上图（2）所示，?R?RπR2R?xdx?A2?.

222（3）由上图（3）所示，?0cosxdx?A3?(?A4)?A5?A3?A5?(?A3?A5)?0. （4）由上图（4）所示，??1xdx?2A6?2?12π1?1?1?1. 22. 设物体以速度v?2t?1作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动的路程S.

解：s??50(2t?1)dt

3. 用定积分的定义计算定积分

?cdx,其中c为一定常数.

ab解：任取分点a?x0?x1?x2???xn?b,把[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi]

(i?1,2?n)，小区间长度记为?xi=xi-xi?1(i?1,2?n),在每个小区间?xi?1,xi?

上任取一点?i作乘积f(?i)??xi的和式：

n?f(?)??x??c?(xiii?1i?1nni?xi?1)?c(b?a),

记??max{?xi}, 则

1?i?n?bacdx?lim?f(?i)??xi?limc(b?a)?c(b?a).

??0i???04. 利用定积分定义计算

?10x2dx.

解：f(x)?x2在[0,1]上连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对?0,1? n等分，分点xi?i,i?1,2,?,n?1;?i取相应小区间的右端点，故 nnnni1122 ?f(?i)?xi???i?xi??xi?xi=?()?3nnni?1i?1i?1i?1 =

n2?ii?1n2

11111?n(n?1)(2n?1)(1?)(2?) =n366nn112当??0时（即n??时），由定积分的定义得： ?xdx=．

035. 利用定积分的估值公式，估计定积分

43?1?1(4x4?2x3?5)dx的值.

解：先求f(x)?4x?2x?5在??1,1?上的最值，由

32 f?(x)?16x?6x?0, 得x?0或x?3. 8比较 f(?1)?11,f(0)?5,35093f()?,81024fmin?5093,1024f(1)?7的大小，知

fmax?11，

1?1

由定积分的估值公式，得fmin?[1?(?1)]?即

?(4x4?2x3?5)dx?fmax??1?(?1)?,

15093??(4x4?2x3?5)dx?22. ?15126. 利用定积分的性质说明

? 1 0edx与?edx，哪个积分值较大？

0x 1x2解：在?0,1?区间内：x?x?e?e 由性质定理知道：

2xx2? 1 0edx??exdx

0x 127. 证明：2e?121???212e?xdx?2。

2证明：考虑????12,1??x2?x2?上的函数，则，令y??0得x?0 y?ey??2xe?2?当x?????1??1?,0?时，y??0，当x??0,?时，y??0 2?2???x2∴y?e1?x2在x?0处取最大值y?1，且y?e121?2121?212在x??121122处取最小值e?12.

故

??212edx???e?xdx??21dx，即2e????212e?xdx?2。

8. 求函数f(x)?1?x2在闭区间[-1，1]上的平均值.

111π?12π2解：平均值??1?xdx???

1?(?1)??12249. 设f(x)在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何a?(0,1)有证明：

?1aa0f(x)dx?a?f(x)dx.

01?a 0f(x)dx?a?f(x)dx=?f(x)dx?a?f(x)dx?a?f(x)dx

0 0 01aa ?(1?a)?a0f(x)dx?a?f(x)dx=(1?a)af(?)?(1?a)af(?)

a1 ?(1?a)a[f(?)?f(?)]，其中 0???a,a???1

又f(x)单调减，则f(?)?f(?)，故原式得证.

习 题 5.2

1. 计算下列定积分 （1）

?402?xdx; （2）?x2|x|dx; （3）?|sinx|dx; (4) ?max{x,1?x}dx.

?20012π1解：（1）

?40112?xdx??(2?x)dx??(x?2)dx?(2x?x2)?(x2?2x)?4

0222022424（2）

?1?2x2|x|dx=?(?x3)dx+?x3dx=??2001x440??2x441=4+

0117?. 44