内容发布更新时间 : 2024/11/17 15:58:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、复数基本概念及初等函数 1、

1?2?i= 3(1?i)2、复数1?i的模为 ，主辐角为 3、z?1?3i的指数表示式为 4、设z?（1?i），则Imz? 20＋i＝ 5、16、Ln(?1?i)＝ 7、复数（1?i）的值为 8、求下列方程的根：

（1）z＋＝10 （2）sinz?cosz?0 二、解析函数与调和函数

21、 函数f(z)?zz在何处可导？何处解析？

22i333222、 设f(z)?x?iy?3xyi?3xy，证明它是解析函数，并求f?(z)

3、 若f(z)?my?nxy?i(x?lxy)为解析函数，求l,m,n 4、 设u(x,y)?3232y(x?0)证明u(x,y)是调和函数，并求解析函数22x?yf(z)＝u(x,y)?iv(x,y)

5、 设u(x,y)?2(x?1)y,求解析函数f(z)＝u(x,y)?iv(x,y)，且使得f(2)＝i

6、 若函数f(z)＝u?iv在区域D内解析，且f(z)在D内是一个常数，证明f(z)是常数。 三、级数 1、 级数

n!nz的收敛半径为 ?nn?12n?2、 若

?a(z?1)nn?0??在z=2处条件收敛，则它的收敛半径为

3、 若

?a（z－3)nn?0n在z＝－6处收敛，则它在z＝7处

1

1在z=1处展开成泰勒级数 z?23z5、 把f(z)＝2在下列指定圆环域内展开成洛朗级数：

z?z?24、 把f(z)＝（1）2?z??? （2）3?z－2???

6、 把f(z)＝z?1在下列指定圆环域内展开成洛朗级数： 2z(z?1)（1）0?z?1 （2）1?z??? 四、共形映射

1、w?z在z=1+i处的伸缩率为 ，转动角为 2、在映射w?z下，扇形区域0?argz?3、w?22?4的像区域为 z?1将z?1映射成什么图形？ z?14、求将上半平面Im(z)?0映射成单位圆w?1，且满足w(i)?0,argw?(i)??线性映射。

5、求且满足L(0)?0,argL?(0)??射。 五、积分 1、f(z)＝?2的分式

?2,且将单位圆z?1映射成单位圆w?1的分式线性映

(z?i)(z?i)的奇点是

e?z?11?e2z2、z=0是f(z)＝的 级极点。

z43、z=0 是f(z)＝?tsinz的 级极点，且Res[f(z),0]＝ 2ze34、f(z)＝?dt，则f(i)＝ ，f(?i)＝ ???2t?z5、求6、

i?CRe(z)dz，其中C是连接z=0和z=1+i的直线段

?zsinzdz＝

02?1z7、Res[ze,0]? 8、求以下积分：

2

ezsinzdzdz （3）（1）? （2）???z?2zz?1z?1（5）

（6）?（7）??tanzdz ?tan?zdz ?z?3??z－1?325z-2eizdz （4）dz2??（zz-1）z2(z?1)z?22?z?10＋?xsin2x1（8）dx d? 22?0(x?1)(x?2)5?3sin?（9）

?＋?01dx x4?11n!(n)，证明：f(0)?,(0?r?1)，1?z(1?r)rn9、如果f(z)在z?1内解析，且f(z)?n取正整数

参考答案：

iii93?1044388一、1、??i 2、2,? 3、2e 4、2sin5? 5、2e ，2e

444??9? 7、e??4k?2?(cosln2?isinln2)

22二、1、在（0，0）处可导，处处不解析 2、f?(z)?(3x?3y)?6xyi 3、l?3,m?1,n?3 5、f(z)??(z?1)i

2(z?1)n,z?1?2 三、1、0 2、1 3、收敛 4、?(?1)n?12n?0?n3335、（1）f(z)?3?3?9?15?? （2） f(z)?????23234z?2(z?2)(z?2)zzzz6、（1）

2f(z)??1z2?22?2?2z?2z?? z（2）f(z)?1z2?2z3?2z4?2z5??

??i? 2、? 4、z?i 5、L?e2z 四、1、

22,0?argw?w?42z?i五、1、(2k?1)i,k?0,?1,?2? 2、三级 3、一级，0（提示：求洛朗展开式） 4、2?ie5、1 6、?cos1?sin1?i(cos1?sin1) 7、1（提示：求洛朗展开式）

(1?i)?628、（1）0 （2）0 （3）i?1 （4）0

?i3?，2?ie?i3

3