内容发布更新时间 : 2024/12/23 2:03:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

定积分与微积分基本定理

基础热身

1．已知f(x)为偶函数，且 6

?f(x)dx＝8，则?6－6f(x)dx＝( )

?0

?

A．0 B．4 C．8 D．16

2x?，x∈[0，1]，

2． 设f(x)＝?1(其中e为自然对数的底数)，则

?x，x∈?1，e]

e

?f(x)dx的值为( ) ?0

42A.3 B．2 C．1 D.3

3．若a＝?2x2dx，b＝?2x3dx，c＝?2sinxdx，则a、b、c的大小关

?0

?0

?0

系是( )

A．a

4．如图K15－1，阴影部分的面积是( )

图K15－1 3235

A．23 B．2－3 C.3 D.3 能力提升

5．设函数f(x)＝ax2＋1，若?1f(x)dx＝2，则a＝( )

?0

A．1 B．2 C．3 D．4

ππ

6．由直线x＝－3，x＝3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( )

13

A.2 B．1 C.2 D.3

7．一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4 s内经过的路程是( )

A．260 m B．258 m C．259 m D．261.2 m

1

8．若?k(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )

?0

A．0 B．1

C．0或1 D．以上均不对

9．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为( )

A．0.28 J B．0.12 J C．0.26 J D．0.18 J

10．设函数y＝f(x)的定义域为R＋，若对于给定的正数K，定义

??K，f?x?≤K，11?2函数fK(x)＝则当函数f(x)＝x，K＝1时，定积分?4

??f?x?，f?x?>K，?

fK(x)dx的值为________．

11.?1(x－x2)dx＝________.

π

12． ∫20(sinx＋acosx)dx＝2，则实数a＝________.

1

13．由抛物线y2＝2x与直线x＝2及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________．

14．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所

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围成的区域(阴影)面积为4，求f(x)的解析式．

?0

图K15－2

15．(13分)如图K15－3所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；

(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．

图K15－3 2

难点突破

16．(12分)已知点P在曲线y＝x2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P作曲线y＝x2的切线PQ(Q为切点)．

(1)求切线PQ的方程；

(2)求证：由上述切线与y＝x2所围成图形的面积S与a无关．

参考答案：

【基础热身】

1．D [解析] ?6－6f(x)dx＝2?6f(x)dx＝2×8＝16.

?

e

2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫0f(x)dx可以分为两

e13?114?ee112?段，即∫0f(x)dx＝?xdx＋∫1xdx＝3x??0＋lnx?1＝3＋1＝3，所以选?

0

?0

A.

13?2814?232?3．D [解析] a＝?xdx＝3x??0＝3，b＝?xdx＝4x?0＝4，c?0?0

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3