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2013年中考数学模拟试题汇编 锐角三角函数和解直角三角形
模拟题
一、选择题
1．(2011·黄冈)cos 30°＝( ) 123
A. B. C. D.3 222答案 C 2．(2011·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )
512513
B. C. D. 1313125答案 A A.
BC5
解析 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝.
AB13
3．(2011·达州)如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是( )
33
A.sin 30° C.tan 30° 333 解析 因为tan45°＝1，tan60°＝3，所 tan45°＝×1＝，而1.5 222D. 4．(2011·芜湖)如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( ) 1 1334A. B. C. D. 2425 答案 C 解析 设⊙A交x轴于点D.连接CD，因为∠COD＝90°，所以CD是直径，且∠OBC＝∠ODC. OD5 33 在Rt△OCD中，OC＝5，CD＝10，则OD＝5 3，所以cos∠OBC＝cos∠ODC＝＝＝. CD102 5．(2011·福州)Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( ) A．acos A＋bsin B B．asin A＋bsin B C. ＋ D.＋ sin Asin Bcos Asin B答案 B abab 解析 如图，画CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，sinB＝sin∠ACD＝，所以AD＝bsinB，同理，BD＝a·sinA，故C＝AB＝AD＋BD＝asinA＋bsinB. 二、填空题 6．(2011·武汉) sin 30°的值为________． 1答案 2 7．(2011·义乌)右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5 2m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________m. ADAC 答案 5 解析 过C画CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，BC＝5 2，则BE＝CE＝5，即h＝5. 8．(2011·茂名)如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝________米． 2 答案 100 解析 如图，AD∥BC，则∠ABC＝∠BAD＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，BC＝AC＝100. 9．(2011·衢州)在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距___________m. 答案 200 解析 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∠BAC＝90°－60°＝30°，所以∠C＝30°＝∠BAC，BC＝AB＝200. 10．(2011·潼南)如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，则直径AD＝________米．(结果精确到1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 答案 260 解析 设AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°， 则BD＝3AD＝3x. 在Rt△ACD中，∠ACD＝60°， ADx3 则CD＝＝＝x. 333又∵BD－CD＝BC，∴3x－得 3 x＝300， 3 2 3 x＝300，x＝150 3≈260(米)． 3 三、解答题 11．(2011·金华)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6m的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64) 3 解 由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大．因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α＝70°时AC最大． 在Rt△ABC中，AB＝6米，α＝70°， sin 70°＝，即0.94≈，解得AC ≈5.6. AB6 答：梯子的顶端能达到的最大高度AC约5.6m. 12．(2011·铜仁)如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？ (参考数据：2≈1.414，3≈1.732) ACAC解 根据题意，有∠AOC＝30°，∠ABC＝45°， ∠ACB＝90°，∴BC＝AC， 在Rt△AOC中，由tan 30°＝， ACOC3AC＝， 320＋AC20 解得AC＝≈27.32(海里)． 3－1 ∵27.32(海里)>25(海里)， ∴轮船不会触礁． 13．(2011·威海)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°， ∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长． 得 解 过点B作BM⊥FD于点M. 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan 60°＝10 3， ∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°. 4 1 ∴BM＝BC·sin 30°＝10 3×＝5 3， 23 ＝15. 2 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5 3. ∴CD＝CM－MD＝15－5 3. 即CD的长为15－5 3. CM＝BC·cos 30°＝10 3× 14．(2011·常德)青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃．如图所示，一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC＝40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？(结果精确到个位) 解 在Rt△BCD中， ∵∠BCD＝90°－30°＝60°， ∴＝tan 60°，则BD＝3CD. 在Rt△ABD中， ∵∠ABD＝60°， BDCDAD40＋CD∴＝tan 60°，即＝3， BD3CD∴CD＝20. 3CD35 ∴t＝≈＝7. 55 故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊． 15．(2011·扬州)如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°. (1)求垂直支架CD的长度；(结果保留根号) (2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 解 (1)在Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76， ∵sin∠CED＝， ∴CD＝DE·sin∠CED＝38 3(厘米)． DCDE 5 答：垂直支架CD的长度为38 3厘米． (2)设水箱半径OD＝x厘米，则OC＝(38 3＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米， ∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°， ∴AO＝2×OC，即：150＋x＝2(38 3＋x)． 解得，x＝150－76 3≈18.52≈18.5(厘米)． 答：水箱半径OD的长度为18.5厘米． 四、选做题 16．(2011·南充)如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，F落在AD上． (1)求证：△ABF∽△DFE； (2)若sin∠DFE＝1 3 ，求tan∠EBC的值． 解 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°. ∵△BCE沿BE折叠为△BFE， ∴∠BFE＝∠C＝90°. ∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°. 又∵∠AFB＋∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠DFE， ∴△ABF∽△DFE. (2)解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝DE1 EF＝3 ， ∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝EF2 －DE2 ＝2 2a. ∵△BCE沿BE折叠为△BFE， ∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a, ∠EBC＝∠EBF. 又由(1)得，△ABF∽△DFE， ∴FEBF＝DFAB＝2 2a4a＝22， ∴tan∠EBF＝FE＝2BF2 ， ∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝22 . 6 点