内容发布更新时间 : 2024/11/15 12:08:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 电磁现象的普遍规律

1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：

解：矢量性为

①

②

③微商性

④

⑤

由②得

⑥

⑦

⑥+⑦得

上式得

令得

2.设μ是空间坐标x，y，z的函数，证明：

解：①

②

③

3.设为原点到场点的距离，的方向规定为从原点指向场点。 ⑴ 证明下列结果，并体会对原变数求微商

（）

与对场变数求微商

（ ）

的关系

（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节） ⑵ 求及，其中及均为常矢量。 解：⑴ ⑵

4. 4.

⑴ 应用高斯定理证明

⑵ 应用斯托克斯（Stokes）定理证明

解：⑴

⑵

5. 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为

利用电荷守恒定律

证明的变化率为

解：

取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的，则

。

6. 若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

解：

7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求

⑴ 空间各点的电场； ⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。

解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由：

对空间Ⅱ：做高斯面，由

对空间Ⅲ: 做高斯面，由

⑵ 由

时,由边值条件:

(由1指向2)

8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。

解：⑴由 所以

所以

方向为

对区域Ⅱ 由

方向为

对区域Ⅲ有:

(2) (2) 由

由

由

同理

由

得

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。即： 解：由均匀介质有

①

② ③ ④ 由①②得

两边求散度

由③④得