内容发布更新时间 : 2025/2/15 7:07:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

多级火箭发射卫星的数学思想

随着科技的发展，我国的航事业有着巨大的进步，有关资料表明，我们一般都是用三级火箭系统发射各种科学卫星，那么我们为什么不用单级火箭来发射呢？

一、单级火箭发射卫星的可能性

卫星应在预定高度的轨道上运动，为克服地球引力和大气阻力的影响，必须保证发射 火箭具有足够高的速度。

基本假设

1）地球是半径为R的均匀球体。

2）卫星的质量为m，在高度为h的平面轨道上做匀速圆周运动。 1、火箭速度

R2地球对卫星的引力为F?mg2，又由卫星所受引力也是它作圆周运动的向心力，所

rmv2g以又有F?，故得出v?R，由此可知，当h增大时，v减少。据有关资料表

rg?h明，提高质量比成为提高速度的关键。对于火箭系统的质量，其由三部分组成，即卫星质量，燃料质量和火箭结构质量，分别为mp,mF,mS。

在单级火箭发射过程中，燃料质量是递减的，星箭分离瞬间的剩余质量为mp?mS，由于载荷质量mp固定，提高质量比值等价于减少比值??mS，从而我们得出

mS?mFv?ulnm0，其中一般u?3kms。

?m0?(1??)mp?1由上式可知，此时火箭的最高速度也只能达到v?uln??7kms

所以，单级火箭发射卫星肯定不能达到第一宇宙速度，故我们要采用多级火箭系统。 二、多级火箭系统 在人们日常生活中，我们发现二踢脚通常比一般的单级鞭炮要窜的更高。这与多级火箭递推发射原理十分相似，在发射过程中需要逐点燃，即丢掉该级运载火箭，加速下一级运载工具，直至最后一级火箭达到预定高度时才释放出卫星。

在我们理想的n级火箭系统中，各级的比值?和相对喷射速度u相同。设第i级火箭质量为mi，则其结构质量为?mi，燃料质量为(1??)mi，并约定荷载卫星为第n?1级，通过

n?1wi计算得出第i级速度vi?vi?1?uln其中wi??mk。我们要使载荷尽可能,i?1,2,?n，

?wik?i高，等价于比值

m0w?1?u1u2?un最小。最后，此问题归结为优化问题minu1u2?un mpwn?1故最优化设计应满足条件u1?u2???un。要此基础上，我们取

mp?1t,v?10.5kms,u?3kms,??0.1通过计算我们得到下表

多级火箭的质量 火箭级数 火箭质量 2 149 3 77 4 65 5 60 ? ? 由于三级火箭系统要比二级火箭系统质量减少近一半，且其造价、可靠性又要比三级以上的火箭系统优越。

随着人类逐渐进入深空探测和空间飞行器的功能增多，要求火箭具有更大的运载能力，因而出现了多级火箭。多级火箭的优点是每过一段时间就把不再有用的结构抛弃掉，无需再消耗推进剂来带着它和有效载荷一起飞行。火箭在某个确定的起飞质量下并非级数越多越好，它与起飞质量之间有着某种对应关系。本文通过研究多级火箭的质量，级数和速度的关系，说明理想状态与实际过程的联系和理论运用。