内容发布更新时间 : 2024/5/17 22:49:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，

求证：∠BAC = 2∠DBC

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，

求证：DE = DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取

一点E、F，使AE = AF， 求证：EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结

DE交BC于F 求证：DF = EF

1

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF，连结DE

求证：EF⊥BC

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ，

o

∠PCB = 30 求∠PAB的度数.

有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，

求证：∠BAC = 2∠DBC

证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 =

又∵AB = AC

∴AE⊥BC

∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD⊥AC

∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）

2

1∠BAC 2A12DBEC

（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：DE = DF 证明：连结AD.

∵D为BC中点，

A∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC

EF∵DE⊥AB，DF⊥AC

B∴DE = DF CD⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF， 求证：EF⊥BC

证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC

∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o

∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o

N∴NC⊥BC

∵AE = AF E∴∠AEF = ∠AFE A又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC F∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC BC∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结

DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，

∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN A又∵BD = CE ∴DN = EC

D在△DNF和△ECF中

∠1 = ∠2

1CB2∠NDF =∠E FNDN = EC

E

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