内容发布更新时间 : 2025/3/20 1:51:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

束缚态和散射态

量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态

束缚态：在势阱中E

散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在

在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论

2、?势阱中的束缚态 对?势阱，有

V(x)????(x)，(??0)

见右图。

在x?0处，V(x)?0。

?E?0为游离态（自由态），E

V(x)????(x)可取任何连续值。

取分立值。以下讨论E?0的

E?0时则可能存在束缚态，此时E

情况。

定态Schrodinger方程为，

d22m??[E???(x)]??0 22dx??积分lim??dx可得出?势阱跃变条件，

??0??? 1

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

?'(0?)??'(0?)??2m??2?(0) 与?势垒跃变条件比较：?'(0?)??'(0?)?2m??2?(0)

在x?0区域，Schrodinger方程可以写成为

?''(x)??2??0

其中???2mE??0，(E?0) 解为e??x，可写为Ae?x?Be??x，

利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。

考虑到V(?x)?V(x)，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），

(a)偶宇称态

?ce??x?(x)??x?0?ce?xx?0 或写成?(x)?ce??|x|

c为归一化因子。现在根据跃变条件求解。 按?'的跃变条件，

?c??c???2m?/?2?c

???m?/?2

因此可得出粒子能量的本征值

E?E?2?2m?20??2m??2?2

?由归一化条件?|?|2dx?|c|2/??1，

??可得出c???m?/?2?1/L，

2

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

L??2/m?是势的特征长度。

这样归一化的束缚定态波函数可写为

?(x)?1?|x|/L eL这是δ势阱中的唯一束缚态。

m?2属于能量E0??2。

2?在|x|?L中找到粒子的几率为

?2?|?(x)|2dx?e?2?0.1353

L(b)奇宇称态 波函数可表为

?Ae??x?(x)???x??Aex?0 x?0由x?0点波函数连续性条件可得A?0，所以不可能存在奇宇称束缚定态。

从物理上考虑，奇宇称态在波函数x?0点必为0。而δ势阱又恰在点x?0起作用。

所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。

2、?势与方势的关系，?'跃变的条件

δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。

从δ势求解更为方便。?'不连续，但粒子流密度jx连续。

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