内容发布更新时间 : 2024/5/2 20:36:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

实验二 一元线性回归分析

一、目的：

通过对一元线性回归分析程序设计及完成算例，掌握一元线性回归分析的基本原理和方法。

二、方法概要 1、原始数据预处理

对n?对原始数据（xi,yi）(i=0，1，…，n?)数据进行预处理（见实验一）。

2、数学模型建立

（1）作散点图

一元线性回归只能处理两个变量之间的关系，它又被称为直线拟合，假设x为自变量，y为因变量，对预处理后n对数据（xi,yi）(i=0，1，…，n；其中n?n?)如果把各个点数据画在坐标纸上（作散点图），各点近似分布呈一条直线，则可用一元现行回归。

（2）选择数学模型

散点图

z

y

??a?bx （2-1） y（3）参数a, b的估计

?为根据回归方程的得到的因变量y的计算值；a，b为回归方程中的系数；x为自变量。由于y测定结果中不可避免会有实验误差，因此用最小二乘法的原理估计回归直线中的系数a，b。

假设实验得到了n对数据（χ

i ，

??a?bx，则对于xy）(i=0，1，…，n)并得到了回归方程y的一系列变量x1 ，x2 ，…，xn，根据回归得到方程可得到因变量的一系列计算值

?1?a?bx1y?2?a?bx2y???n?a?bxny

?1(i=0，1，…，n)之间都有偏差，每一个实测值yi(i=0，1，…，n)与它相对应的一个计算值y也可称残差，计算公式：

?i?yi?(a?bxi) （2-2） vi?yi?y所有测试数据的残差平方和为

1

?]??[yi?(a?bxi)]2 （2-3） Qe??v??[yi?y2i2i?1i?1i?1nnn??a?bx是合理的a，b为最佳。则所得到的残差平方和应达到最小值。 如果回归方程y得

n?xiyi?nxyLxyi???1?b??n?Lxx?x2?n(x)2 （2-4）

i?i?1??a?y?bx列出回归方程

y?a?bx （2-5）

3、回归方程显著性检验

（1）将自变量n组试验数据依次代入回归方程（式3－8），求出因变量n个回归值

?i?a?bxi （i?1,2,?,n） （2-6） y（2）计算S总，S回和S剩：

S总??yi2?ny2 （2-7）

i?1nn?i2?ny2 （2-8） S回??yi?1S剩＝S总?S回 （2-9）

（3）计算F统计量

S回1F? （2-10）

S剩n?2（4）计算相关系数r

r?（5）查表检验

LxyLxx?Lyy （2-11）

给定显著水平α，查表得F?(p,n?2),r?(n?2)。若F?F?(p,2)或r?r?(n?2)，则证明回归方程显著；否则，回归方程无实用价值。

4、对因变量进行区间估计

（1）估计剩余标准值

??? （2-12）

2

（2）求出因变量估计值

?。 当自变量取定值x时，由回归方程可求得 因变量数学期望的估计值y（3）写出预测区间

??2??,y??2??） 95%置信区间:（y??3??,y??3??） 99.7%置信区间：（y三、算例

g（一）从某煤矿采集11个煤样，分别测定煤的发热量（QDT）和煤灰分（A）含量，获得如

g下表数据：

样品号 gQDT（千卡） 1 2 3 7.7 4 7.2 5 6.8 6 6.2 7 5.6 8 9 10 11 8.30 7.8 5.5 5.00 4.70 4.3 Ag 0.03 0.05 0.08 0.10 0.15 0.20 0.27 0.30 0.34 0.40 0.45 gg试建立煤的发热量（QDT）对煤灰分（A）的回归方程，并检验该回归方程的显著性。

（二）煤矿脉中13个相邻样本点处某种伴生金属的含量数据如下表：

样品号 距离x 含量y 样品号 距离x 含量y 1 2 106.42 8 11 110.59 2 3 108.20 9 14 110.60 3 4 109.58 10 15 110.90 4 5 109.50 11 16 110.76 5 7 110.00 12 18 111.00 6 8 109.93 13 19 111.20 7 10 110.49 试建立y对x的回归方程，并进行显著性检验。

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