北大绿卡九年级数学上册 21.2.1 解一元二次方程 配方法导学案(含解析)(新版)新人教版 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/5/13 8:33:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解一元二次方程 配方法

学习目标:

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通过预习掌握可直接化成x=p(p≥0)或(mx+n)=p(p≥0)的一元二次方程的解法. 2.了解配方法的概念,掌握配方法的基本步骤,会用配方法解一元二次方程. 3.在经历用配方法解一元二次方程的过程中,进一步体会化归思想. 教学重点

用配方法解题的基本步骤. 教学难点

二次项次数为1时,配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方;二次项次数不为1时,先把二次项次数化为1. 教学过程

活动一(学生自主预习第5页问题1)

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问题:一桶油漆可刷的面积为1 500 dm,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?

(学生思考、讨论,教师引导,汇报解题过程和步骤.)

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解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为6x dm,根据一桶油漆可刷的面积,列出方程

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10×6x=1 500. 整理,得 2

x=25.

根据平方根的意义,得 x=±5, 即

x1=5,x2=―5

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可以验证,5和―5是方程10×6x=1 500的两个根,因为棱长不能是负值,所以盒子的棱长为5 dm.

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变式思考:如果把上面的方程稍作变形,如(x+3)=5你还会解吗? (学生独立思考,并给出解法)

解:(x+3)=5,x+3=±5,所以x+3=5和x+3=―5. 于是,方程(x+3)=5的两个根为x1=―3+5和x2=―3―5. 归纳总结:

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总结可化成(x+n)=p时,方程的实数根情况.

教师引导学生总结p>0,p=0,p<0时,方程根的情况.

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(1)当p>0时,方程(x+n)=p有两个不等的实数根. x1=-n-p,x2=-n+p;

(2)当p=0时,方程(x+n)=p有两个相等的实数根. x1=x2=-n;

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(3)当p<0时,因为对任意实数x都有(x+n)≥0,所以方程(x+n)=p无实数根. 巩固练习

教材第9页“练习”第1、2题. 学生独立完成,小组内订正.

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活动二:1.探究:怎样解方程x+6x+4=0?

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1

我们已经会解方程(x+3)=5.因为它的左边是含有x的完全平方式,右边是非负数.所以可以直接降次解

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方程.那么,能否将方程x+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢? 教师先让学生观察、尝试,引导学生运用学过的知识解方程.

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学生在教师的引导下解方程x+6x+4=0. 解题过程和步骤如下:

x+6x+4=0→x+6x=-4→x+6x+9=-4+9→(x+3)=5,通过降次可得x+3=±5,即x+3=5,

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或x+3=-5. 解一次方程得

x1=-3+5,x2=-3-5.

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通过验证,可知-3±5是方程x+6x+4=0的两个根.

教师引导学生总结解方程的基本步骤,让学生了解关键是把方程的左边配成完全平方式的形式,然后解方程.

归纳:像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出,配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 2.实例详解 例 解下列方程:

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(1)x-8x+1=0; (2)2x+1=3x; (3)3x-6x +4=0.

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分析:(1)方程的的二次项系数为1,直接运用配方法.(2)先把方程化成2x-3x +1=0,它的二次项系数为2,为了便于配方需将二次项系数化为1,为此方程的两边都除以2.(3)与(2)类似,方程的两边都除以3后再配方.

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解:(1)x-8x+1=0; 2

x-8x=-1; 2

x-8x+16=-1+16;

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(x-4)=15;

x?4??15, x?4?15,

x1?4?15,x2?4?15. (2)2x+1=3x; 2

2x-3x+1=0;

2

2x-3x=-1;

2

31x??, 223919x2?x????,

21621631, (x-)2?416x2? 2

x-31??, 4431x=?, 441x1?1,x2?,

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(3)3x-6x +4=0.

4x2-2x??,

34x2-2x?1??+1,

31(x-1)2??<0,

3所以原方程无解. 巩固练习

教材第9页“练习”第1、2题. 学生独立完成,小组内订正. 活动三:归纳总结

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总结配方法解一元二次方程ax+bx+c=0的基本思路和具体步骤.

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结合这几个方程的求解,让学生总结解一元二次方程ax+bx+c=0的基本思路和具体步骤.要注意什么问题?

学生独立思考、讨论、总结.最后师生共同归纳. 基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式. 具体步骤:(1)把二次项系数化为1;(2)将常数项移到方程右边;(3)配方:在方程两边加上一次项系数的一半的平方;(4)利用平方根的意义解方程. 在此过程中要注意保证变形的过程是恒等变形. 活动四、课堂小结

今天你学习了什么?有什么收获? 布置作业

习题第21.2第3题.

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