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2020-2021备战中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优篇含答案(1)

一、圆的综合

1．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上?DCE??B． （1）求证：CE是半圆的切线； （2）若CD=10，tanB?2，求半圆的半径． 3

【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】

分析: （1）连接CO，由?DCE??B且OC=OB,得?DCE??OCB,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；

（2）设AC=2x，由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB，通过证明△AOD∽△ACB，列出等式即可.

详解：（1）证明：如图，连接CO.

∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB=90°.

∴∠DCB=180°-∠ACB=90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠B. ∵?DCE=?B， ∴∠OCB=∠DCE. ∴∠OCE=∠DCB=90°. ∴OC⊥CE. ∵OC是半径， ∴CE是半圆的切线. （2）解：设AC=2x，

∵在Rt△ACB中，tanB?∴BC=3x. ∴AB?AC2?, BC3?2x???3x?22?13x.

∵OD⊥AB, ∴∠AOD=∠ACB=90°. ∵∠A=∠A， ∴△AOD∽△ACB. ∴

ACAO?. ABAD113AB?x，AD=2x+10, 22∵OA?∴

113x2x. 2?13x2x?1013?8?413. 2解得 x=8. ∴OA?则半圆的半径为413.

点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.

2．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形

（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系

猜想结论： （要求用文字语言叙述） 写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明） （性质应用）

①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形 （填序号） A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形

②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是 ． ③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．

【答案】见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据切线长定理即可得出结论；

（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论； ②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；

③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】

性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：

如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H． 求证：AD+BC=AB+CD．

证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等． 故答案为：圆外切四边形的对边和相等；

性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．

∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等． 故答案为：B，D；

②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．

∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40． 故答案为：40；

③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．

∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．

【点睛】