内容发布更新时间 : 2024/4/28 13:20:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

答案：T3空间

42、正规的T1空间称为 ；

答案：T4空间

43、完全正则的T1空间称为 ；

答案：T3.5空间或Tychonoff空间

三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )

答案:√

理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因

1为对任意A?Y，都有f?（A)?X,由于X中的任何一个子集都是开

集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的. 2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( ) 答案:×

理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而

X,??T 1?T 2；

（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２； （３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1, ?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２； 综上有T1?T２也是X的拓扑．

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3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ） 答案:√ 理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续.

4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ） 答案:√

理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p?d(A)??.

?A??p????，即p?d?A?,从而

5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ） 答案：×

理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所以有d?A??X?A??. 6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ） 答案：√

理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域

X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所

以有d?A??X.

7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得

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A?B??,A?B?X（ ）

答案：√

理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然AB??，并且这时有:

B?B?X?(B?A)?(B?B)?B

从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足A?B??,A?B?X.

8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( ) 答案：√

理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令

B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见

A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.

9、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（ ） 答案：√

理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基，对于每一个x?X,易知B x?{B?B|x?B}是点x处的一个邻域基，它是

B的一个子族所以是可数族，从而X在点x处有可数邻域基，故X满 足第一可数性公理.

10、若拓扑空间X满足第二可数性公理，则X的子空间Y也满足第二可

数性公理（ ） 答案：√

理由：由于X满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B，因为

Y是X的子空间，则B| Y?{B?Y|B?B}是Y的一个可数基，从而X的 子空间Y也满足第二可数性公理.

11、若拓扑空间X满足第一可数性公理，则X的子空间Y也满足第一可

数性公理（ ） 答案：√

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理由：由于X满足第一可数性公理，所以对?x?Y,X在点x处有一个可数邻域基V x，因为Y是X的子空间，则V |V?Y|V?V x}x Y?{是Y在点x的一个可数邻域基，从而X的子空间Y也满足第一可数性公理. 12、设X?{1,2,3}答案：×

理由：因为{1,3}是X的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间. 注：也可以说明X不是T1空间．

1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是T3空间.( ) 13、设X?{，T?{X,?,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是T3空间.( )

答案：×

理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间. 注：也可以说明X不是T1空间．

3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T1空间.( ) 14、设X?{1,2，答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是T1 空间．

注：也可以考虑点２和点３.

3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T4空间.( ) 15、设X?{1,2，答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是T1 空间．故(X,T)是T4空间.

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注：也可以考虑点２和点３. 16、T3空间一定是T2空间.（ ）

答案：√

理由：因为T3空间是正则的T1空间，所以对于T3空间X中的任意不同的两点x,y?X，{y}是X中的闭集，由于X是正则空间，从而对于x,{y}它们有各自的开邻域U,V使得U?V??，所以X是T2空间. 17、T4空间一定是T3空间.（ ）

答案：√

理由：因为T4空间是正规的T1空间，所以对于T4空间X中的任意点

x和不包含x的闭集A，由于{x}也是一个闭集及X是正规空间，故存在{x},A的开邻域U,V使得U?V??，这说明X是正则空间，因此X是T3空间. 四．名词解释(每题2分) 1．同胚映射

答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚. 2、集合A的内点

答案：设X是一个拓扑空间，A?X.如果A是点x?X的一个邻域，则称点x是集合A的一个内点. 3、集合A的内部

答案：设X是一个拓扑空间，A?X.则集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部. 4．拓扑空间(X,T)的基

答案：设(X,T)是一个拓扑空间，B是T的一个子族.如果T中的每

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