内容发布更新时间 : 2024/5/4 12:03:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1 -11 一质点P 沿半径R ＝3.0 m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t ＝0 时,质点位于O 点．按(a)图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5ｓ时的速度和加速度．

分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t)和y′＝y′(t)来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．

解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因θ?程为

2πt,则质点P 的参数方Tx??Rsin坐标变换后,在Oxy 坐标系中有

2π2πt, y???Rcost TTx?x??Rsin则质点P 的位矢方程为

2π2πt, y?y??y0??Rcost?R TT2π2π??ti???Rcost?R?jTT??r?Rsin?3sin(0.1πt)i?3[1?cos(0.1πt)]j

(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为

v?dr2π2π2π2π?Rcosti?Rsintj?(0.3πm?s?1)jdtTTTT

d2r2π2π2π2πa?2??R()2sinti?R()2costj?(?0.03π2m?s?2)idtTTTT1 -12 地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小．在何时刻杆影伸展至20.0 m？

分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程．根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得．由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度．这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得．

解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s＝htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为

v?dshω??1.94?10?3m?s?1 2dtcosωt1sπarctan??3?60?60s ωh4ω当杆长等于影长时,即s ＝h,则

t?即为下午3∶00 时．

1 -13 质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为m·ｓ-2 ,t的单位

为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．

分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由a?dvdx和v?可得dv?adt和dtdt如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间t 的dx?vdt．

显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．

解 由分析知,应有

vt?

由

v0dv??adt

0得 v?4t?t?v0 (1)

133?dx??vdt

x002xt得 x?2t?14t?v0t?x0 (2) 12将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ-1代入(1) (2)得v0＝-1 m·ｓ-1,x0＝0.75 m．于是可得质点运动方程为

x?2t2?14t?0.75 121 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a＝A -Bv,式中A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．

分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为

dv?dt后再两边积分． a(v)解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点． (1) 由题意知 a?用分离变量法把式(1)改写为

dv?A?Bv (1) dtdv?dt (2)

A?Bv将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

?vv0tdvdv??dt

0A?Bv得石子速度 v?由此可知当,t→∞时,v?(2) 再由v?A(1?e?Bt) BA为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． BdyA?(1?e?Bt)并考虑初始条件有 dtBytA?Bt?0dy??0B(1?e)dt

得石子运动方程

y?AAt?2(e?Bt?1) BB1 -15 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2 ．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0 ＝10 mi．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．

分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时

需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即x?x0?v0xt?121axt和y?y0?v0yt?ayt2,两个分运动均22为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．

解 由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得

vtt?又由v?0dv??adt??(6i?4j)dt

00v?6ti?4tj

dr及初始条件t＝0 时,r0＝(10 m)i,积分可得 dt?dr??vdt??(6ti?4tj)dt

r000rttr?(10?3t2)i?2t2j

由上述结果可得质点运动方程的分量式,即

x ＝10＋3t2 y ＝2t2

消去参数t,可得运动的轨迹方程

3y ＝2x -20 m

这是一个直线方程．直线斜率k?dy2?tanα?,α＝33°41′．轨迹如dx3图所示．

1 -16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ．(1) 试证位置A 和B 之间的平均加速度为a?(2) 当Δθ分别等于90°、30°、10°2(1?cosΔθ)v2/(RΔθ)；

和1°时,平均加速度各为多少？ 并对结果加以讨论．