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昆明理工大学2001级高等数学[下]期末试卷

一、填空（每小题4分，共24分）

1．函数z?ln(1?x2?y2)的定义域是 ，函数在 是间断的. 2．设函数z?sin(x2?y2)，则

?z?z? ，? . ?x?y3．函数z?x2?3xy在 点（1，2）处沿x轴负方向的方向导数等于 . 4．设?:x2?y2?z2?a2，则曲面积分

??(x?D2?y2?z2)dS= .

5．设D:?1?x?1,0?y?2，则二重积分

2x??yd?= .

6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之

为 解. 二、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．求函数z?eax2?by2（a,b为常数）的全微分.

2．求曲面x2?2y?z2?0在点(1,1,3)处的切平面方程和法线方程. 3．求微分方程(1?ex)yy??ex的通解. 三、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．设z?xy?xF(u),而u?2．计算三重积分闭区域. 3．计算曲面积分

222?xyzdydz，其中是柱面x?y?a(x?0)介于平面y?0及???y?z?z,F(u)为可导函数，试计算x?y. x?x?y2222?z?2?x?yzdxdydz,.其中是由曲面及所围成的z?x?y????y?h(h?0)之间部分的前侧。

四、（12分）求微分方程y''?3y'?2y?cosx的通解.

五、（12分）求曲线积分

?Lydx?(x?1)dy,其中：

(x?1)2?y22（1）（8分）L为圆周x?y?2y?0的正向.

2（2）（4分）L为椭圆4x2?y2?8x?0的正向 六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.

?x2y2x2?y2?0?23七、（7分）讨论函数f(x,y)??(x?y2)2 在（0，0）处的连续性.

?x2?y2?0?0

昆明理工大学2002级高等数学（下）期末试卷

一．填空题（每小题4分，共40分）

331．设函数z?xy?yx，则全微分dz?

2．设函数u?f(x?y,xy),f具有一阶连续偏导数，则

?u? ?x3．二重积分I??10dy?2y0f(x,y)dx，改变积分次序后I= .

4．直角坐标系下的三次积分I?系下的三次积分I=

?1?1dx?1?x3?1?x2dy?1?x2?y20fx2?y2?z2)dz化为球坐标

5．若区域?:x2?y2?z2?R2，则三重积分

???xyzdxdydz=

???(6．当?= 时，(x?2y)dxx?y)为某二元函数dyu(x,y)的全微分.

227．曲线积分I?(x?y)dx，其中L是抛物线y?x2上从点A(0,0)到B(2,4)的一段

L?弧，则I= .

8．当?为xoy面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为

??f(x,y,z)dS= .

?9．二阶常系数齐次线性微分方程y''?2y'?y?0的通解为y=

10. 二阶常系数非齐次线性微分方程y''?2y'?y?2e?x的特解形式为y*= 二．（10分）?(u,v)具有连续偏导数，证明由方程?(cx?az,cy?bz)?0 所确定

的函数z?f(x,y)满足a?z?z?b?c ?x?y三．（10分）由锥面z?x2?y2及抛物面z?x2?y2所围立体体积

四．（10分）求螺旋线x?acos?,y?asin?,z?b?在(a,0,0)处的切线方程及法平面方

程.

五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分I????1x1xf()dydz?f()dzdx?zdxdy， yyxya2?x2?y2与z?0所围成空间

其中f(u)具有二阶连续导数，?为上半球面z?闭区域?的整个边界曲面的外侧. 六．（10分）设曲线积分

?Lyf(x)dx?[2xf(x)?x2]dy在右半平面(x?0)内与路径无关，

其中f(x)可导且f(1)?1，求f(x).

七．（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程y''?2y'?3y?3x，求其通解.