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※精品试卷※

课时作业(十三) 空间向量与立体几何

1. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2a，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系，并证明你的结论． 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a，0)，E(a，3a,2a)． 因为F为CD的中点， 3?3?所以F?a，a，0?. 2?2?→?3→3?→(1)证明：AF＝?a，a，0?，BE＝(a，3a，a)，BC＝(2a,0，－a)． 2?2?→1→→因为AF＝(BE＋BC)，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE. 2(2)平面BCE⊥平面CDE.证明如下： →?3→→→→→→→3?→因为AF＝?a，a，0?，CD＝(－a，3a,0)，ED＝(0,0，－2a)，所以AF·CD＝0，AF·ED＝0，所以AF⊥CD，2?2?→→AF⊥ED. 所以AF⊥平面CDE， 又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE. 2. (2017·广西南宁、梧州摸底联考)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，△PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点． (1)证明：PB∥平面AMC； 推 荐 下 载

※精品试卷※ (2)求直线BD与平面AMC所成角的正弦值． 解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OM，因为四边形ABCD为菱形，OB＝OD，又M为PD的中点，所以OM∥PB. 由PB?平面AMC，OM?平面AMC，所以PB∥平面ACM. (2)取AB的中点N，连接PN，ND，则∠AND＝90°， 分别以NB，ND，NP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N－xyz， 3??a??则B?，0，0?，C?a，a，0?， ?2??2?33?33?????a??A?－，0，0?，D?0，a，0?，P?0，0，a?，M?0，a，a?， 2???2??2??44?→?3333??→?a则AC＝?a，a，0?，AM＝?，a，a?. 24??2??24设平面AMC的法向量为n＝(x，y，z)， 33?ax＋ay＝0，?22则?a33x＋ay＋az＝0，??244 令y＝3，则x＝－1， →→3n·BD3?3??a?z＝－，即n＝?－1，3，－?.又BD＝?－，a，0?，设直线BD与n所成的角为θ，则cosθ＝3→3???22?|n||BD|＝239， 13239故直线BD与平面AMC所成角的正弦值为. 133．(2017·河北石家庄模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN. 推 荐 下 载

※精品试卷※ (1)求证：MN∥平面PAB； (2)求二面角P-AN-M的余弦值． 解析： (1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH， 11在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1. 32∵AD∥BC， ∴NH∥AM，且NH＝AM， ∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH. ∵AH?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB. (2)解：在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，则AE⊥AD. 分别以AE，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则P(0,0,4)，M(0,1,0)，C(22，2,0)，N??2228?，，?. ?333?→→?2228?设平面AMN的法向量m＝(x，y，z)，AM＝(0,1,0)，AN＝?，，?， ?333?y＝0，??则?2228x＋y＋z＝0，?33?3 1??取m＝?2，0，－?. 2??→→?2228?设平面PAN的法向量n＝(x，y，z)，AP＝(0,0,4)，AN＝?，，?， ?333?推 荐 下 载

※精品试卷※ 4z＝0，??则?2228x＋y＋z＝0，?33?3 取n＝(1，－2，0)， m·n26则cos〈m，n〉＝＝. |m||n|926故二面角P-AN-M的余弦值为. 9 4．(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点． (1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小． 解析：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP?平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. (2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH. 因为∠EBC＝120°， 所以四边形BEHC为菱形， 所以AE＝GE＝AC＝GC＝3＋2＝13. 取AG的中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG， 所以∠EMC为所求二面角的平面角． 又AM＝1，所以EM＝CM＝13－1＝23. 在△BEC中，由于∠EBC＝120°， 由余弦定理得EC＝2＋2－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC＝23，所以△EMC为等边三角形， 故所求的角为60°. 推 荐 下 载 22222