内容发布更新时间 : 2025/2/26 23:57:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高中数学排列组合易错题分析
排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.
1没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.
例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.
误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.
错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.
正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任
3意选取2台，有C6种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有C5种方法，
22332?C5据乘法原理共有C6?C5种方法.同理，完成第二类办法中有C6种方法.据加法
2332原理完成全部的选取过程共有C6?C5?C6?C5?350种方法.
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.
（A）A4 （B）
334 （D）C4
343 （C）
误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A. 错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.
正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3?3?3?3?3种.
4说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得4.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.
2判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.
例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
8误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A8种方法.
3错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.
正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺
3序，是组合问题.这样共有：C8?56排法.
3重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
误解：先从5本书中取4本分给4个人，有A5种方法，剩下的1本书可以
4给任意一个人有4种分法，共有4?A5?480种不同的分法，选A.
4错因分析：设5本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：
甲 a e
乙 b
表1
丙 c 丁 d
甲 e a
乙 b
表2
丙 c 丁 d
表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲的情况；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.
正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有C5种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，
424有A4种方法.由乘法原理，共有C5?A4?240种方法，故选B.
2例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，
223这三个人再进行全排列.共有：C7C5A3?1260，选B.
错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.
223C7C5A3?630种. 正解：
24遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ） （A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为
0 1，3