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圆锥曲线定点定值技巧

一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法 1．“特殊”探求

x2y23??1．E、F是椭圆C上的两个动点，点A(1，)是椭圆上的一个定点．如例1．（09、辽宁）已知椭圆C：432果直线AE、AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． 解：①“特殊”探讨：取点F(2，0)(即右顶点)?kAF??3?y?x3?x??1?y????kEF2?2?3x2?4y2?12?33②一般性的证明：设过点A(1，)的直线方程为：y?m(x?1)?

22333?kAE??直线AE的方程：y?x．由22230?(?)y?yE2?1． ?F?xF?xE2?(?1)23?y?m(x?1)?3?由?（3+4m2）x2+4m(3?2m)x?4(?m)2?12?0． 2?2?3x2?4y2?12?34(?m)2?12 设方程的两根为x1、xA，则x1·xA＝x1?x1＝2． 分别用“k”“?k”替换“m”

3?4m293?6k2?6k?4(?k)2?124k2?12k?332， ＝，y?kx??k＝xE?2EE2224k?323?4k4k?39?6k2?6k?24k?12k?32．所以直线EF的斜率 xF＝，yF＝224k?34k?399(?6k2?6k?)?(?6k2?6k?)y?yE22?1．即直线EF的斜率为定值，其值为1． ?F=

xF?xE(4k2?12k?3)?(4k2?12k?3)22kEF小结：①取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序；②上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担．

2．“与参数k无关”

例2． (07、湖南理21）已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．【直接法求轨迹】

（1）若动点M满足F，求点M的轨迹方程； 1M?F1A?F1B?FO1（其中O为坐标原点）(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；

若不存在，请说明理由．

0)，F2(2，0)，解：(1)由条件知F1(?2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．设M(x，y)． 第一歩：“基本特征式”：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x?ty?2． 由

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?t2?1?0?x?ty?24?22?(t?1)y?4ty?2?0…………； x?x??????24t1222t?1?x?y?2?y1?y2??2t?1?第二歩：“向量特征式”：F，y)，F1A?(x1?2，y1)，FO?(2，0)，F1B?(x2?2，y2)， 由 1M?(x?21?x1?x2?x?4?x?2?x1?x2?6……（*2） F1M?F1A?F1B?FO????1?y1?y2?y?y?y1?y24?x?4???(1)??t2?1第三歩：代入(整体)：由（*1）与(*2)??；

4t?y????(2)?t2?1?y22第四歩：消参：（1）÷（2）?t?，代入（1）：(x?6)?y?4．

x?422所以点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．

【(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由】

0)，使CA·CB为常数．第一歩：先特殊探讨．当AB与x轴垂直时，点A，B的解：假设在x轴上存在定点C(m，?2)?CA·CB＝(1，2)·(1，?2)＝－1＝常数； 坐标为(2，2)，(2，第二歩：再解决一般情况．【以下是基本“特征式”的运算】当AB不与x轴垂直时． ①两设：设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

②方程组→一元二次方程→基本“特征式” 由

??1?k2?0??y?k(x?1)4k2?2222 ； ?(1?k)x?4kx?(4k?2)?0??x1?x2??2221?k?x?y?2??4k2?2?x1x2?2k?1?③运用基本“特征式”求解问题：

CA·CB?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2

(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)2(1?2m)k2?24?4m2222??4k?m??m ?2(1?2m)??m?CA·CB?2222k?1k?1k?1k?1因为CA·CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA·CB＝－1．【与例1的注⑥，用“与k参

数无关”的方法求定值】

综合：在x轴上存在定点C，使CA·CB＝－1．

小结：①定点、定值的题目中，若存在(大多数是“隐含”条件)“与k参数无关”类的语句，求解方法是：第一歩，将表达式→关于“参数k”的多项式；第二歩，令含“参数k”的项的系数为零，即得到求解结论； ②其理论依据： 若关于x方程ax?b的解为R?a?b?0，即“零”多项式理论； 若关于x方程ax?bx?c?0的解为R?a?b?c?0，即“零次”多项式理论；

若关于x的函数f(x)?(2m?1)x?(2k?2)x?2m?k的值与x无关?函数f(x)是常数函数?所有含x项的系数＝0，即“零次”多项式理论；

③一般地，这类题目的运算结果，总是含有两个参数：“无关参数k”和“待求参数m”．而本题很特殊：含“无关参数k”是关于“参数k”分式，增加了问题的难度．

例5．(2011、武汉市第二次质检、三中供题) 已知点P(x0,y0)是椭圆

22xxx2E:?y2?1上任意一点x0y0?1，直线l的方程为0?y0y?1．(1)判断直线l与

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椭圆E交点的个数；(2)直线l0过P点与直线l垂直，点M（－1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标．

?x2?y2?1?x02?2y022?2x?x0x?1?y02?0?△＝0?直线l与椭圆E只有一个交点． 解：(1)由??4?x0x?yy?10??2(2)直线l0的方程为x0(y?y0)?2y0(x?x0) ?2y0x?x0y?x0y0?0．设M(?1,0)关于直线l0的对称点N的坐标

?2x03?3x02?4x0?4x0?n???m??x02?42y0??m?1为N(m,n)????? 432?2y?m?1?x0n?xy?0?n?2x0?4x0?4x0?8x0000??2y0(4?x02)?22?n?y0x04?4x03?2x02?8x0?8直线PN斜率k???直线

m?x02y0(?x03?3x02?4)PN的方程为：

x04?4x03?2x02?8x0?82y0(?x03?3x02?4)y?y0?(x?x0)即x?4y?1?直线PN恒过定点G(1,0)． 32322y0(?x0?3x0?4)x0?4x0?2x0?8x0?8 小结：①这道题是证明的圆锥曲线的光学性质，先猜想直线PN经过另一个焦点G(1，0)，然后再给予证明；

②本题虽然计算量很大，但有了猜想的导向，运算方向清晰，中间过程可以猜想性的表述． 二、先局部，后整体，有序地运算：“由局部→整体的重组”

解析几何中的数学顺序，表现为“由局部→整体的重组”，“整体消参”．而“对称运算”与“对偶运算”是强力支撑． 例5．(08、武汉模拟)过双曲线mx－y＝m的右顶点A，作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN，交双曲线于M、N．其中k1·k2＝－m2，k1＋k2?0，且k1＞k2，求直线MN的斜率为定值，并求这个定值． 解：【分析：题设条件是k1·k2＝－m2，提示了解题顺序．先局部地分别求出k1、k2，然后重组为k1·k2＝－m2．可以预定：一定能消除参数m2】设过右顶点A(1，0)的直线方程：y?k(x?1)，

2222?m2x2?y2?m2由方程组：?? (m2?k2)x2?2kx?(k2?m2)?0?

?y?k(x?1)m2?k2m2?k2x1·x2＝－2．由x1＝1(？)?x2＝－2? 22m?km?k2m2?k12m2?k2xM＝－2【注：用的是“对偶”运算】． ?xN＝－222m?k1m?k2k1?k2k2?k1k12?k1k2x又m＝－k1·k2，代入上式：xM＝－＝，＝． Nk2?k1?k1k2?k12k1?k22所以yM＝k1(xM?1)＝－

k1k2，【注：用的是“由局部→整体的重组”下的“整体消参”】由对称性：yN＝－

k1?k2k2k1?yM＝yN?MN∥x轴，得直线MN的斜率k?0.

k1?k2第 3 页 共 14 页

小结：①本题是“对偶运算”的经典题目，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间； ②在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部→整体的重组”有效合成为一体； ③本题可以先取m2＝4，k1＝1，k2＝－4，求出直线MN的斜率k后，再有目标地运算． 三、“代点配凑、代入消参”的运算定式

“代点配凑、代入消参”的运算定式是非常重要的运算．“点差法”，本质上是这种定式的先期运用．反之：“代点配凑、代入消参”的定式，是“点差法”运算的深化．同时，“代点配凑、代入消参”的运算定式，也是“先局部，后整体，有序地运算”的深化．复杂一点的问题，其题型特征是：①曲线上有两个动点； ②于是很容易误导 “直线与曲线相交于两点”运算模式； ③一旦用上式，得到的是无效运算． 先看下面的一道“定值”形式的题，做完后再小结，期望得到解题定式．

例6．（09、宣武）已知P、Q是椭圆T：满足|OP|＋|OQ|＝x＋2y?1上两个不同的点，是定值，并求这个定值．

解：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)? (x1＋y1)＋(x2＋y2)＝①代点：x1＋2y1?1，x2＋2y2?1

22222222223KOQ|，求证：|KOP·

2223； 21212121232x1＋(x1＋2y12)]＋[x2＋(x2＋2y2)]＝； 22222121121322 (x1＋)＋(x2＋)＝?x1＋x2＝1． 22222②配凑：[

1122(1?x)?(1?x2)221y1y22y1y222)＝22＝2③代入消参：(KOP·KOQ)＝(＝ 22x1x2x1x2x1x2222)?x12x21111?(x12?x211?1?x12x2KK?定值． ＝＝|·|????OQOP224444x12x2x12x2小结：“代点配凑、代入消参”的解题定式：①代点：因为A(x1，y1)、B(x2，y2)在曲线F(x，y)?0上

2222【x1＋2y1?1，x2＋2y2?1】②配凑：按照求解目标，两式相加或相减，得?F(x1，y1)?0，F(x2，y2)?0；

22到关于x1、x2、y1、y2的整体关系式；【(x1＋y1)＋(x2＋y2)＝

223】把上述关系式，整合为含有F(x1，y1)、 222F(x2，y2)的式子，经过配凑得到一个新的关系式f(x1，y1，x2，y2)?0；【x1＋x2＝1】

③代入消元：把配凑得到的结果，代入求解目标，继续运算．【(KOP2y1y22y12y2)＝22＝·KOQ)＝(x1x2x1x22112(1?x12)?(1?x2)122＝】(是“点差法”运算的复制) 24x12x2小结：①“代点配凑、代入消参”的解题定式，在求定点定值和轨迹方程时常常用到．同时还要注意：用“特殊”

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探求处理定点、定值、定形问题，仅仅是一种方法，并不是所有的问题都必须采用，不要构成错误的“思维定势”； ②“代点配凑、代入消参”的解题定式是“点差法”运算的深化，所以求解时，可以按照“点差法”的模式，“先局部，后整体，有序地运算”；

③“代点配凑、代入消参”的解题定式，仅仅是比“点差法”的运算多了一个“消参”环节，从而得到常数；【注：还有另外一种形式上的“代点配凑、代入消参”】

x2y2例7．(09、全国1)过定点P(m，n)作直线L与椭圆C：2＋2＝1相交于不同的两点A、B，点Q在线段ABab上，且|AP|·|QB|?|AQ|·|PB|．求证：点Q总在定直线

mxny?2＝1上． 2ab共

证明：记λ＝

|AP||AQ|＝，则λ＞０，且λ≠１．由P、A、Q、B四点|PB||QB|线?AP＝－λPB，AQ＝λQB．设点Q(x，y)，A(x1，y1)，

22x12x2y12y2B(x2，y2)?①代点：2＋2?1，2＋2；

aabb②配凑：AP＝－λPB，AQ＝λQB?m＝

x1??x2y??y2，n＝1，

1??1??22x1??x2y1??y2y12??2y2mxx12??2x2nyx＝，y＝，2＝2； ?2＝2221??1??abb(1??)a(1??)2222x12x2y12y2y12??2y2mxnyx12??2x212③代入消参：2?2＝2＋2＝·[（2＋2）－?(2＋2）] 222aabbaba(1??)b(1??)1??＝

1mxny2?·（1－）＝1， 所以：点Q的轨迹方程为：?2＝1． 221??abmxny， 代入、配凑、消元，一气呵成． ?”

a2b2小结：①把线段的比，转化为向量关系．然后直接采用“定式”运算．这里没有使用“基本特征式”参与运算； ②根据求解目标：“

四、“代点配凑、代入消参”与求轨迹方程

高考试卷中的解析几何题，是干扰学生得高分的“瓶颈”．两种情况： ①无法取得适当的运算途径，往往是只做第一问，得到4～5分，心安理得； ②期望突破第二问，但运算途径不合理，越算越复杂，耽误时间，耗时耗精力．运气好，得到2～3分． 1．“代入法”求轨迹方程、曲线过定点中的“整体消元”

x2y2??1上任一点，F2例8．(09、江西）已知点P1(x0,y0)为双曲线

8b2b2为双曲线的右焦点．过P1作右准线的垂线，垂足为A．连接F2A并延长交y轴于P2． (1) 求线段P1P2的中点P的轨迹的方程；

(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q(x1，y1)，直线QB、QD分别交y轴于M、N两点．求证：

以MN为直径的圆过两定点．

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