内容发布更新时间 : 2024/11/18 9:47:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
§2.3 函数的奇偶性与周期性
最新考纲 考情考向分析 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
1．函数的奇偶性 奇偶性 奇函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 图象特点 关于坐标原点对称 偶函数 2.周期性
关于y轴对称 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 概念方法微思考
1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？ 提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)． 1
(2)f(x＋a)＝(a≠0)．
f?x?
(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．
提示 (1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( × )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × ) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ ) 题组二 教材改编
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________. 答案 －2
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
2
??－4x＋2，－1≤x<0，
3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝?
??x，0≤x<1，
3?
则f??2?＝______. 答案 1
3??1?1
－＝－4×?－?2＋2＝1. 解析 f?＝f?2??2??2?
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当0
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1111
A．－ B. C. D．－ 3322
答案 B
1
解析 ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
31
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
3
33?11?＝0，?时，6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈?f(x)＝－x，则f?2??2?________. 1
答案 8
11??1?1
－＝－f??解析 由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f?＝f?2??2??2?1?31
＝??2?＝8.
题型一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝36－x2＋x2－36； ln?1－x2?(2)f(x)＝；
|x－2|－2
?x2＋x，x<0，?
(3)f(x)＝?2
?－x＋x，x>0.?
2??36－x≥0，
解 (1)由?得x2＝36，解得x＝±6，
2??x－36≥0，
即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f(x)＝
36－x2＋x2－36＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
2
??1－x>0，(2)由?得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
??|x－2|≠2，
关于原点对称．