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第2章 磁悬浮系统的结构与建模
2.2 磁悬浮系统工作原理
电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力，控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力相平衡，钢球就可以悬浮于空中而处于平衡状态[13]。但是这种平衡是一种不稳定平衡，这是由于电磁铁与钢球之间的电磁力的大小与它们之间的距离x?t?成反比，只要平衡状态稍微受到扰动(如：加在电磁铁线圈上的电压产生脉动、周围的振动、风等)，就会导致钢球掉下来或被电磁铁吸住，因此必须对系统实现闭环控制。由电涡流位移传感器检测钢球与电磁铁之间的距离x?t?变化，当钢球受到扰动下降，钢球与电磁铁之间的距离x?t?增大，传感器输出电压增大，经控制器计算、功率放大器放大处理后，使电磁铁绕组中的控制电流相应增大，电磁力增大，钢球被吸回平衡位置，反之亦然。
2.3 磁悬浮系统的数学模型
2.3.1 控制对象的运动方程
忽略小球受到的其他干扰力，则受控对象小球在此系统中只受电磁吸力F和自身的重力mg。球在竖直方向的动力学方程可以如下描述：
d2x(t)m?mg?F(i,x) (2-1) 2dt式中x为磁极到小球的气隙，单位为m；m为小球的质量，单位为Kg；F(i,x)为电磁吸力，单位为N；g为重力加速度，单位为m/s2。 2.3.2 系统的电磁力模型
由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨伐尔定律和能量守恒定律有[14]：
?0AN2i2?Wm(i,x)?(2x)?0AN2i2F(i,x)????() (2-2)
?x?x2x式中?0为空气磁导率，?0?4??10?7H/m；A为铁芯的极面积，单位为m2；N为电磁铁线圈匝数；x为小球质心到电磁铁磁极表面的瞬时气隙，单位为m；i为电磁铁绕组中的瞬时电流，单位为A。
由于上式中A、N、?0均为常数，故可定义一常系数K
?0AN2 (2-3) K??29
磁悬浮小球的PID控制
则电磁力可改写为：
iF(i,x)?K()2 (2-4)
x2.3.3 电磁铁中控制电压与电流的模型
电磁铁绕组上的瞬时电感与气隙间的关系如图2.4所示。
图2.4 电磁铁电感特性［Woodson,1968］
电磁铁通电后所产生的电感与小球到磁极面积的气隙有如下关系：L(x)?LL1?0 1?x a由上式可知：
L1?L(x)?L1?L0 又因为：
L1??L0 故有：
L(x)?L1 根据基尔霍夫电压定律有：
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(2-5)
(2-6)
(2-7)
(2-8)
第2章 磁悬浮系统的结构与建模
U(t)?Ri(t)??Ri(t)?d??m(t)? (2-9)
dtd?L(x)gi(t)?dtd?i(t)?dt0?Ri(t)?L1式中L为线圈自身的电感，单位为H；L为平衡点处的电感，单位为H；x为小1球到磁极面积的气隙，单位为m；i为电磁铁中通过的瞬时电流，单位为A；R为电磁铁的等效电阻，单位为?。 2.3.4 电磁铁平衡时的边界条件
当小球处于平衡状态时，其加速度为零，即所受合力为零，小球的重力等于小球受到的向上的电磁吸引力， 即[15]：
mg?F(i0,x0)?K(i02) (2-10) x02.3.5 电磁铁系统数学模型
综上所诉，描述磁悬浮系统的方程可完全由下面方程确定：
?d2x?m2?mg?F(i,x)?dt?d?i?t????U(t)?Ri(t)?L1??dt (2-11) ??F(i,x)?K(i)2?x??mg?F(i0,x0)?K(i0)?x0?对电、力学关联方程线性化后，设系统的状态变量为x1?x,x2?x?,x3?i，则系统的状态空间方程为：
??0???x1? ?? 3 ?2ki0X???x2????3???mx0?x3??????0????10???x1??0?2ki0?????0?2??x2???0?U (2-12)
mx0??????x3??1??R?L?0???1?L1?11
磁悬浮小球的PID控制
转化成传递函数形式：
G(s)?C(sI?A)?1B?D?k2/L1 (2-13) 32s?k3s?k1s?k1k322ki02ki0R (2-14) k1?,k??,k??2332mx0mx0L1式中x0为小球平衡位置，单位为m；i0为平衡电流，单位为A。 2.3.6 电磁铁系统物理参数
本实验系统实际的模型参数如表2.1所示。
表2.1 实验系统参数表
参数 值 m R L128g 13? 118mH 15.5mm 1.2A x0 i0 K
4.587?10?5Nm2/A2 12
第3章 控制器设计
第3章 控制器设计
3.1 控制器方案选择
控制系统是主动磁悬浮系统中很重要的一环，控制系统的好坏直接影响到整个系统的性能，包括稳定性、动刚度、抗干扰能力等。控制系统选用不同的控制器方案，其数学模型是不同的。控制器方案主要有电流控制和电压控制两种方式[16]。 3.1.1 电流控制器
如果磁悬浮控制系统采用电流控制器，功率放大器输出的是电流。由式
d2xm2?kii?kxx?p(t) (3-1) dt可知，在无外力作用下，P(t)?0，经Laplace变化，得在电流控制方式下的系统传递函数：
Gi(s)??kX(s)?2i (3-2) l(s)ms?kx根据控制理论的劳斯稳定性判据：系统稳定的必要条件是传递函数分母中的各项系数必须大于零。式(3-2)缺少一次项（或一次项系数等于零），由此可以得出如下两个推论：
采用电流放大器的磁悬浮系统如果不施加控制，系统是不稳定的；
采用电流放大器的磁悬浮控制系统必须包含一次项，即控制系统必须含有微分控制环节。
3.1.2 电压控制器
如果磁悬浮控制系统采用电压放大器，功率放大器输出的是电压。将式(2-8)中的电流由电压表示代入式(2-14)中，在无外力作用下，即P(t)?0，经Laplace变化，可得电压控制方式下的系统传递函数：
G(s)?ki/mL1 (3-3)
s3?Rs2/L1?kxs/m?Rkx/mL1很显然，如果不加控制，系统有可能满足劳斯稳定性判据的必要条件，但不是充分条件。由此可以得出如下推论：
采用电压放大器的磁悬浮系统不施加控制，系统也有可能稳定。这也是无源磁悬浮系统能够应用的原理依据。
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