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第8讲 曲线与方程

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 动点P(x，y)满足5?x－1?2＋?y－2?2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是 ( )． A．椭圆 C．抛物线

B．双曲线 D．直线

解析 设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝?x－1?2＋?y－2?2，点P到直线l的距离d＝

|3x＋4y－11|

. 5

|PF|

由已知得d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D. 答案 D

2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为 ( )． A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

解析 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案 D

3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 ( )． 4x24y2

A.21－25＝1

4x24y2

B.21＋25＝1

4x24y2

C.25－21＝1

4x24y2

D.25＋21＝1

解析 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴521a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝4， 4x24y2

∴椭圆的标准方程为25＋21＝1. 答案 D

4．(2013·烟台月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0

B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0

解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

?a??a?5．(2013·九江月考)在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B?－2，0?，C?2，0?

????1

(a>0)，且满足条件sin C－sin B＝2sin A，则动点A的轨迹方程是________． |AB||AC|1|BC|

解析 由正弦定理，得2R－2R＝2×2R， 1

∴|AB|－|AC|＝2|BC|，且为双曲线右支． 16x216y2

答案 2－2＝1(x>0且y≠0)

a3a

6. 如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴→·→＝0，PM→＋PN→＝0，则点

上运动，N为动点，且PMPFN的轨迹方程为________．

解析 由题意，知PM⊥PF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接

QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax. 答案 y2＝4ax 三、解答题(共25分)

7．(12分)已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，→＝2PB→，求点P的轨迹C的方程．

P是AB上一点，且AP

2→＝2PB→，

解 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，AP

2→＝(x－x，y)，PB→＝(－x，y－y)， 又AP0022

所以x－x0＝－2x，y＝2(y0－y)， ?2?

得x0＝?1＋?x，y0＝(1＋2)y.

2??

22

因为|AB|＝1＋2，即x0＋y20＝(1＋2)，

??2??

所以??1＋?x?2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，

2????x22

化简得2＋y＝1.

x22

∴点P的轨迹方程为2＋y＝1.

y2

8．(13分)设椭圆方程为x＋4＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O

2

1→→?11?→

为坐标原点，点P满足OP＝2(OA＋OB)，点N的坐标为?2，2?，当直线l绕

??点M旋转时，求： (1)动点P的轨迹方程； →|的最大值，最小值．

(2)|NP

解 (1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.

y＝kx＋1，??

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组?2y2

x＋4＝1.??

消