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内容发布更新时间 : 2024/3/28 18:10:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

离散数学习题答案

习题一:P12

1. 判断下列句子哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真

命题?哪些命题的真值现在还不知道? (1) 中国有四大发明。

(2)

5是无理数。

(3) 3是素数或4是素数。

(4) 2x+3<5,其中x是任意实数。 (5) 你去图书馆吗? (6) 2与3都是偶数。 (7) 刘红与魏新是同学。 (8) 这朵玫瑰花多美丽呀! (9) 吸烟请到吸烟室去!

(10) 圆的面积等于半径的平方乘π。 (11) 只有6是偶数,3才能是2的倍数。

(12) 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 (13) 2025年元旦下大雪。

1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。

在上面的命题中,1、2、7、10、13是简单命题; 1、2、10是真命题; 7的真值现在还不知道。

2. 将上题中是简单命题的命题符号化。

(1) p:中国有四大发明。

(2) q:5是无理数。

(7) r:刘红与魏新是同学。

(10) s:圆的面积等于半径的平方乘π。 (1) t:2025年元旦下大雪。

3. 写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否

定式的真值。

“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。

解:原命题可符号化为:p:5是有理数。其否定式为:非p。 非p的真值为1。

4. 将下列命题符号化,并指出真值。

(1) 2与5都是素数。

(2) 不但π是无理数,而且自然对数的底e也是无理数。 (3) 虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数。 (4) 3是偶素数。

5.

6.

7.

8.

(5) 4既不是素数,也不是偶数。 a:2是素数。 b:5是素数。 c:π是无理数。 d:e是无理数。 f:2是最小的素数。 g:2是最小的自然数。 h:3是偶数。 i:3是素数。 j:4是素数。 k:4是偶数。 解:(1)到(5)的符号化形式分别为a∧b,c∧d,f∧非g,h∧i,非j∧非k。这五个复合命题的真值分别为1,1,1,0,0。 将下列命题符号化,并指出真值。 a:2是偶数。 b:3是偶数。 c:4是偶数。 d:5是偶数。 f:3是素数。 解:(1)到(5)的符号化形式分别为a∨b,a∨c,b∨d,非b∨非c,非f∨非c。这五个复合命题的真值分别为1,1,0,1,0。 将下列命题符号化。

(1) 小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。

(2) 这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课。 p:小丽从筐里拿一个苹果。 q:小丽从筐里拿一个梨。 r:刘晓月选学英语。 s:刘晓月选学日语。 (1) 符号化为:(p∧非q)∨(非p∧q)。 (2) 符号化为:(r∧非s)∨(非r∧s)。

设p:王冬生于1971年,q:王冬生于1972年,说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以符号化为“(p∧非q)∨(非p∧q)”,又可以符号化为“p∨q”的理由。

解:题意中的或为排斥或,因此可以符号化为(p∧非q)∨(非p∧q),但是王冬不可能既生于1971年又生于1972年,即p与q实际上不能同时为真,因此也可以符号化为p∨q。

将下列命题符号化,并指出真值。 (1) 只要2﹤1,就有3﹤2。 (2) 如果2﹤1,则3≧2。 (3) 只有2﹤1,才有3≧2。 (4) 除非2﹤1,才有3≧2。 (5) 除非2﹤1,否则3﹤2。 (6) 2﹤1仅当3﹤2。 p:2﹤1。

q:3﹤2。

(1) 的符号化形式为:p→q。命题的真值为1。 (2) 的符号化形式为:p→非q。命题的真值为1。 (3) 的符号化形式为:非q→p。命题的真值为0。 (4) 的符号化形式为:非q→p。命题的真值为0。 (5) 的符号化形式为:非q→p。命题的真值为0。 (6) 的符号化形式为:p→q。命题的真值为1。

9. 设p:俄罗斯位于南半球,q:亚洲人口最多。将下面命题用自然语言表述,

并指出真值。

(1) p→q 如果俄罗斯位于南半球,则亚洲人口最多。命题的真值为1。 (2) q→p 如果亚洲人口最多,则俄罗斯位于南半球。命题的真值为1。 (3) ﹁p→q 如果俄罗斯不位于南半球,则亚洲人口最多。命题的真值为1。

(4) p→﹁q 如果俄罗斯位于南半球,则亚洲人口不是最多。命题的真值为1。

(5) ﹁q→p 如果亚洲人口不是最多,则俄罗斯位于南半球。命题的真值为1。

(6) ﹁p→﹁q 如果俄罗斯不位于南半球,则亚洲人口不是最多。命题的真值为1。

(7) ﹁q→﹁p 如果亚洲人口不是最多,则俄罗斯不位于南半球。命题的真值为1。

10. 设p:9是3的倍数,q:英国与土耳其相邻。将下面命题用自然语言表述,

并指出真值。

(1) 9是3的倍数当且仅当英国与土耳其相邻。其真值为。

(2) 9是3的倍数的充要条件是英国不与土耳其相邻。其真值为。

(3) 若9不是3的倍数,则英国与土耳其相邻;反之亦然。其真值为。 (4) 当9不是3的倍数时,英国就与土耳其相邻;反之亦然。其真值为。 11. 将下列命题符号化,并给出各命题的真值。

(1) 令p:2+2=4。q:地球是静止不动的。 (2) 令p:2+2=4。q:地球是运动不止的。 (3) 令p:地球上有树木。q:人类可以生存。

(4) 令p:地球上有水。q:3是无理数。 解:(1)符号化的形式为:p→q,其真值为0。 (2)符号化的形式为:p→q,其真值为1。 (3)符号化的形式为:﹁p→﹁q,其真值为1。 (4)符号化的形式为:﹁p→q,其真值为1。 12. 将下列命题符号化,并给出各命题的真值。

令p:2+2=4。q:3+3=6。 解:(1)符号化的形式为:p<—>q,其真值为1。 (2)符号化的形式为:p<—>﹁q,其真值为0。 (3)符号化的形式为:﹁p<—>q,其真值为0。 (4)符号化的形式为:﹁p<—>﹁q,其真值为1。

13. 将下列命题符号化,并讨论各命题的真值。

令p:今天是星期一。q:明天是星期二。r:明天是星期三。 解:(1)符号化的形式为:p→q,其真值为1。 (2)符号化的形式为:q→p,其真值为1。 (3)符号化的形式为:p<—>q,其真值为1。 (4)符号化的形式为:p→r,其真值为0。 14. 将下列命题符号化。

15. 设p:2+3=5。p的真值为1。

q:大熊猫产在中国。q的真值为1 r:太阳从西方升起。r的真值为0 求下列复合命题的真值: (1) 命题的真值为0。 (2) 命题的真值为1。 (3) 命题的真值为0。 (4) 命题的真值为1。

16. 当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题的真值:

(1) 命题的真值为0。 (2) 命题的真值为0。 (3) 命题的真值为0。 (4) 命题的真值为1。

17. 判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外,只有6能被2整除,6才能被4整除。”

解:令p:π是无理数。q:3是无理数。r:2是无理数。s:6能被2整除。 t:6能被4整除。p、r、s的真值为1,q、t的真值为0。

由题意知:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以该论述为真。 18. 在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是

正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的。” 解:令p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。

由题意知:﹁p∨﹁q的真值为1,而p→q的真值为0。 p→q,当且仅当p为真,q为假时,其真值为0。 故当小王会唱歌,小李不会跳舞时,该论述为真。 19. 用真值表判断下列公式的类型:

(1)p→(p∨q∨r)的真值表 p q r p∨q p∨q∨r p→(p∨q∨r) 000 0 0 1 001 0 1 1 010 1 1 1 011 1 1 1 100 1 1 1 101 1 1 1 110 1 1 1 111 1 1 1 由上知,p→(p∨q∨r)为重言式。

20. 求下列公式的成真赋值: 21. 求下列公式的成假赋值:

22. 已知公式是矛盾式,求公式 的成真赋值和成假赋值。

由数P10表1.4真值表可知:所求公式的无成真赋值,8个全是成假赋值。 23. 已知公式是重言式,求公式 的成真赋值和成假赋值。 24. 已知是重言式,试判断公式的类型。 25. 已知是矛盾式,试判断公式的类型。

26. 已知是重言式,是矛盾式,试判断 及 的类型。

27. 设A,B都是含命题变项p1,p2,?,pn的公式,证明:AB是重言式当且仅当

A与B都是重言式。

28. 设A,B都是含命题变项p1,p2,?,pn的公式,已知AB是矛盾式,能得出A

与B都是矛盾式的结论吗?为什么?

29. 设A,B都是含命题变项p1,p2,?,pn的公式,证明:AB为矛盾式当且仅当

A与B都是矛盾式。

30. 设A,B都是含命题变项p1,p2,?,pn的公式,已知AB是重言式,能得出A

与B都是重言式的结论吗?