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北京林业大学20 10--2011学年第二学期考试试卷

试卷名称： 数理统计B（B卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩

参考答案及评分标准

一、填空（每题2分，共10分）

1．设A,B,C为三个随机事件，用事件的运算表示只有一个事件发生 ABC?ABC?ABC 。 2．设A、B为事件，P(A)?0.5，P(A?B)?0.3，则P(AB)? 0.8 。

3．某车间共有5台同类型机床，每台机床平均每小时实际开工12分钟，且开工与否相互独立，在同一时刻恰好有两台机床开工的概率等于 0.2048（128/625） 。

?1|1?|y21?|x|4．设X的密度函数fX(x)?e，则Y?2X?1的密度函数fY(y)?e 。

4225．设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布，则X2?Y2~ ?(2) 。

二、（10分）已知甲、乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中有3件产品而且都是正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，（1）从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率；（2）若已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。

解：（1）设Ai表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3） 设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；

3121311C3C32C31C1C3CC3C13C23 P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?3?0?3?1?3?1?3?1? 5分

C6C6C6C6C6C6C64i?1n （2）P(A2|B)?P(A2B)?0.6 10分 P(B)三、（10分）一袋中装有5张编号为1到5的卡片，从袋中同时抽取3张卡片，以X表示所取的3张卡片中的最小号码数。(1)求X的概率分布律; (2)求X的方差DX。

解：（1） X 123 631 P 101010 5分

631（2） EX?1??2??3??3/2

10101063122 EX?1??22??32??27/10 8分

101010DX?EX2?(EX)2?0.45 10分

?0, x??1?3四、（10分）已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A(x?1), ?1?x?1，

?1,x???(1)求常数A； (2)求概率P?X?0.4?； (3)求概率P?0.3?X?2.5?；（4）求X的密度函数。

解：（1）因为F(x)在x=1处必连续， limF(x)?1?limF(x)?2A, 2分 ??x?1x?1所以A=1/2 3分

(2)连续型随机变量在任意一个孤立点概率为0，所以，P?X?0.4?=0； 5分 （3）P?0.3?X?2.5??F(2.5)?F(0.3)?1?1(0.33?1)?0.4865 7分 2?3x2,?1?x?1?（3）X的密度函数fX(x)?F?(x)??2 10分

?0, 其它? 五、（10分）X和Y的分布律分别如下所示, 且X和Y相互独立，

X 123 P0.3 0.5 0.2 Y -1 1 P 0.4 0.6

（1）求二维随机变量的分布律；（2）求概率P?X?Y?2?；（3）求X?2Y的分布律； （X，Y）（4）求X和Y的相关系数 解：（1）

Y X -1 1

1 0.12 0.18 0.3 2 0.2 0.3 0.5 3 0.08 0.12 0.2 0.3 0.5 1 4分

（2）P?X?Y?2??P?X?1,Y?1??P?X?3,Y??1??0.18?0.08?0.26 6分 （3） X-2Y P -1 0 1 3 4 5 0.18 0.3 0.12 0.12 0.2 0.08 8分 （4）因为X和Y相互独立，所以，X和Y的相关系数为0。 10分

六、（10分）设二维连续型随机变量(X? Y)的密度函数为：

?

(1)求X和Y各自的边缘密度函数? （2）判断X和Y是否独立； (3)求概率P{X?Y?1}。

?8xyf(x,y)???00?x?y?1其它?18xydy,0?x?1?4x(1?x2),0?x?1????解：（1）fX(x)???x； 3分

0,其它???0,其它??y8xydx,0?y?1?4y3,0?y?1??fY(y)???0?? 6分

其它??0,?0,其它?（2）；因为f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X和Y不独立 8分

0.51?x1（3）P{X?Y?1}??dy?8xydy? 10分

0x6七、（10分）计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且都服从数学期望为

1的同一种概率分布。现将1500个数相加，用中心极限定理求误差总和的绝对值超过15的概率（结果12用标准正态分布函数?(x)表示）。

解：用Vk表示第k个误差 ，V表示总误差，则EVk?0,DVk?1/12,(k?1,2,,1500),

零、方差为

由极限定理知道：V?1500??Vk~N(1500?0，k?120近似1)， 12VV近似?即~N(0，1) 5分

1500?1/12125所以 P{V?15}=1-P{V?15} 6分

V15??1515?15?15 ?1?P????=1-?（）-?（-）?2?2?（）???125125??125125?125?125=2-2?(1.34) 10分

八、（10分）设X1,X2,x?x???e, x?0,Xn为来自X的一个样本,且X的密度函数f(x)???2,

?0, 其它?其中未知参数??0。(1)求参数?的最大似然估计量； (2) 当样本均值X的观察值x?1000时,求?的最大似然估计值。

解：（1）似然函数 L(?)???i?1nxi2e?xi?n???2n(x11nxn)ei?i?1?xi?n 2分

对数似然函数 lnL(?)??2nln???lnx???x 4分

ii?1i?1nlnL?()?n21??2?xi?0 6分 求导得对数似然方程

d???i?1??1x; 所以最大似然估计值 ???1x. 8分 解出 ?22??1X 10分 最大似然估计量 ?2??1?1000?500 (2) 当样本均值X的观察值x?1000时，显然?2

九、（（10分）设某自动化包装机包装每袋重量X~N(?,?) (单位:g),从中抽取容量为n=9的一组样本,其样本均值为400，样本方差为8。(1)求

22?的置信度为0.95的置信区间。(2)求?2的置信度为0.95的置信区间

2（t0.025(8)?2.306, ?0.025(8)?17.534, ?0.975(8)?2.18）。

解：.，?的置信度为95%的置信区间为

ss,X?t?/2(n?1)]?[397.88,402.1741] 5分 [X?t?/2(n?1)nn

??22(n?1)s??8?2.618?2.61??(n?1)s2,??,??3.65,29.358? （2）?置信度为95%的估计： ?22????(n?1)??(n?1)2.18??17.53??1?1??22? 10分