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上海市曹杨二中高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．若1?2i是关于x的实系数一元二次方程x2?bx?c?0的一个根，则（ ） A.b?2，c?5 C.b??2，c??5 【答案】B

【解析】由题意可知，关于x的实系数一元二次方程x2?bx?c?0的两个虚根分别为

B.b??2，c?5 D.b?2，c??1

1?2i和1?2i，然后利用韦达定理可求出实数b与c的值.

【详解】

由题意可知，关于x的实系数一元二次方程x2?bx?c?0的两个虚根分别为1?2i和

1?2i，

???b??2?b??1?2i???1?2i?. 由韦达定理得?，解得???c?5?c??1?2i???1?2i?故选：B. 【点睛】

本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

2．若m是小于10的正整数，则?15?m??16?m?L?20?m?等于（ ） A.P15?m 【答案】D

【解析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】

5B.P20?m

15?mC.P20?m

5D.P20?m

6Q?15?m??16?m?L?20?m??1?2?3L?14?m??15?m??16?m?L?20?m??20?m?!?1?2?3L?14?m??14?m?!20?m?!?6?，由排列数的定义可得?15?m??16?m?L?20?m??P20?m. ???20?m??6??!故选：D. 【点睛】

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本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

3．已知曲线C:x4?y2?1，给出下列命题：①曲线C关于x轴对称；②曲线C关于y轴对称；③曲线C关于原点对称；④曲线C关于直线y?x对称；⑤曲线C关于直线

y??x对称，其中正确命题的个数是（ ）

A.1 【答案】C

【解析】根据定义或取特殊值对曲线C的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数. 【详解】

在曲线C上任取一点?x,y?，该点关于x轴的对称点的坐标为?x,?y?，且

B.2

C.3

D.4

x4???y??x4?y2?1，则曲线C关于x轴对称，命题①正确；

点?x,y?关于y轴的对称点的坐标为??x,y?，且??x??y2?x4?y2?1，则曲线C关

42于y轴对称，命题②正确；

点?x,y?关于原点的对称点的坐标为??x,?y?，且??x????y??x4?y2?1，则曲

42线C关于原点对称，命题③正确；

?253??325?y?x,在曲线C上取点?的对称点坐标为??55??，该点关于直线?5,5??，由于

????29?3??25????1，则曲线C不关于直线y?x对称，命题④错误； ??????25?5??5??253??325?y??x在曲线C上取点?的对称点的坐标为??5,5??，该点关于直线??5,?5??，

????4229?3??25???1，则曲线C不关于直线y??x对称，命题⑤错误. 由于?????????5?25?5??综上所述，正确命题的个数为3. 故选：C. 【点睛】

本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.

4．在复数列?zn?中，z1?8?16i，zn?1?为Zn，则（ ）

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42i?zn?n?N??，设zn在复平面上对应的点2A.存在点M，对任意的正整数n，都满足MZn?10 B.不存在点M，对任意的正整数n，都满足MZn?55 C.存在无数个点M，对任意的正整数n，都满足MZn?65 D.存在唯一的点M，对任意的正整数n，都满足MZn?85 【答案】D 【解析】由zn?1?i1?zn?n?N??，由复数模的性质可得出zn?1?zn，可得出数列22uuuuruuuruuuruuuruuur?zn?是等比数列，且得出zn?z1?85，再由MZn?OZn?OM?OZn?OM，

结合向量的三角不等式可得出正确选项. 【详解】

iQz1?8?16i，?z1?82?162?85，Qzn?1??zn?n?N??，

2?zn?1?i1zn?zn， 22uuur1所以数列?zn?是以85为首项，以为公比的等比数列，且OZn?zn?85（O为

2坐标原点），由向量模的三角不等式可得

uuuuruuuruuuruuuruuuruuurMZn?OZn?OM?OZn?OM?85?OM， uuuur当点M与坐标原点O重合时，MZn?85，

因此，存在唯一的点M，对任意的正整数n，都满足MZn?85， 故选：D. 【点睛】

本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数模的性质和等比数列的综合应用，解题的关键就是利用向量模的三角不等式构建不等关系进行验证，考查推理能力，属于难题.

二、填空题

5．?1的平方根为______． 【答案】?i

【解析】根据??i???1可得出?1的平方根. 【详解】

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