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第一讲 函数与导数—曲线的交点和函数的零点

第三课时

用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数

曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.

【例1】（2008江西卷， 文）已知函数f?x??（Ⅰ）求函数y?f?x?的单调区间；

（Ⅱ）若函数y?f?x?的图象与直线y?1恰有两个交点，求a的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）令f??x??x3?x2?2a2x?x?x?2a??x?a??0， 得x1??2a，x2?0，x3?a．

在a?0的已知条件下，f??x?及f?x?随x的变化情况列表如下：

1413x?ax?a2x2?a4 ?a?0? 43x f??x?

?2a? ???，?

减

?2a 0

0? ??2a，0 0

?0，a?

?

增

a

??? ?a，?

增

0

极小值

?

减

f?x?

极小值 极大值

所以f?x?的递增区间为??2a, 0?与?a,???，f?x?的递减区间为???,?2a?与

?0,a?．

（Ⅱ）要研究函数y?f?x?的图象与直线y?1的交点的情况,就要考虑函数y?f?x?的极大值和极小值相对于y?1的位置.

由（Ⅰ）得到f2?a??x?极小值??f?547?，af?x?极小值?f?a??a4，312f?x?极大值?f?0??a4，

y y-2a y = 1aO y = 1x-2aOax由图可知，要使f?x?的图象与直线y?1恰有两个交点，只需 (1) 两个极小值一个大于1且另一个小于1,即?a4?1?445374a; 12(2) 极大值小于1,即a?1，即a?12或0?a?1． 7【例2】（2008四川 卷,理）已知x?3是函数f(x)?aln(1?x)?x2?10x的一个极值点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若直线y?b与函数y?f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）因为f?(x)?所以f?(3)?a?2x?10， 1?xa?6?10?0．因此a?16． 42?x2?4x?3?2?x?3??x?1?16当a?16时, f?(x)?, ?2x?10??1?xx?1x?1由此可知,当x??1,3?时, f(x)单调递减,当x??3,???时, f(x)单调递增,所以, 当

a?16时, x?3是函数f(x)?aln(1?x)?x2?10x的一个极值点．

于是, a?16.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

??)， f(x)?16ln(1?x)?x2?10x，x?(?1，f?(x)?2?x?3??x?1?．

x?1(3，??)时，f?(x)?0，

，当x?(?11)，3)时，f?(x)?0， 当x?(1，，，(3??)，f(x)的单调减区间是(1，3)． 所以f(x)的单调增区间是(?11)（Ⅲ）y?b与y?f?x?的图象有3个交点；等价于f?x??b有3个实数根；即

f?x??b?0有3个实数根；此时,函数f?x??b的图象与x轴有3个不同交点，

令??x??f?x??b?16ln?1?x??x?10x?b，

2则???x??2?x?1??x?3?16?2x?10??x??1?， 1?x1?x令???x??0，解得x?1或x?3，???x?，??x?随x的变化情况列表如下： x 1???1，1 0 极大值 3? ?1，? ↘ 3 ??? ?3，???x? ? ↗ 0 极小值 ? ↗ ??x? ??1?为极大值,??3?为极小值. 由表可得y???x?的示意图： 为使y???x?图象与x轴有3个不同交点,必须y???x? y（1, 16ln2-9-b)3O1(3, 32ln2-21-b)x y=?(x)的极大值大于零,极小值小于零.即?????1??0 ，可化为 ????3??0 ，2?9b?，0 ?16ln??b?16ln2?9 ， 解得 ??32ln?22?b1?，0 b?32ln2?21 ，??∴32ln2?21?b?16ln2?9． 【例3】（2008陕西卷文）设函数f(x)?x3?ax2?a2x?1,g(x)?ax2?2x?1,其中实数a?0．

（Ⅰ）若a?0，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当函数y?f(x)与y?g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记

g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域；

（Ⅲ）若f(x)与g(x)在区间(a,a?2)内均为增函数，求a的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）

22 f?(x)?3x?2ax?a?3(x?)(x?a)，又a?0，

a3aa时，f?(x)?0；当?a?x?时，f?(x)?0， 33aa?f(x)在(??,?a)和(,??)内是增函数，在(?a,)内是减函数．

33? 当x??a或x?（Ⅱ）由题意知 x?ax?ax?1?ax?2x?1，

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