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2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅱ（附加题）

命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB?AD，E是CB延 长线上一点，直线EA与圆O相切． 求证：

B．选修4—2：矩阵与变换

?12??1??? 已知矩阵M??，，计算M6?． ????21??7?CCDAB． ?ABBEDOBEA（第21-A题）

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C．选修4—4：坐标系与参数方程

?x?2?2cosa, 在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为?(a为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的

y?2sina?正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．

D．选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)?x?1?x?2?a2?2a，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为

2，且各次投篮的结果互不影3响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数x的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

012mm*?Cn设Sn?Cn其中当n为偶数时，m??1?Cn?2???(?1)Cn?m，m,n?N且m?n，

n；当n为奇数时，2m?n?1． 2（1）证明：当n?N*，n≥2时，Sn?1?Sn?Sn?1； （2）记S?

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1111101231007，求S的值． C2014?C2013?C2012?C2011???C1007201420132012201110072014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．?1,2,3,4,7? 2．5 3. 4 4.

6 13. 5729 5．63 6．2 7．2 8. 9． 103810．13 11．9 12．

2?1?73??,??{0,} 14. [3?23,3?27)?(3?27,3?23] ???22?e2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）f(x)?6?1+cos2x?3sin2x=3cos2x?3sin2x?3 2p=23cos(2x?)?3． ???????3分

6所以f(x)的最小正周期为T?2p?p， ???????4分 2值域为[3?23,3?23]． ???????6分 π3 （2）由f(B)?0，得cos(2B?)??．

62ππ7ππ5ππ，2B??，∴B?． ???????9分 ?B为锐角，∴?2B??666663434 ∵cosA?，A?(0,p)，∴sinA?1?()2?． ???????10分

555在△ABC中，由正弦定理得a?bsinA?sinB2?35?43． ???????12分

532 ∴sinC?sin(p?A?B)=sin(2p313?43． ???????14分 ?A)?cosA?sinA?3221016．（1）证明：∵ ABB1A1为菱形，且?A1AB?60?，

∴△A1AB为正三角形． ???????2分

?D是AB的中点，∴AB?A1D．

∵AC?BC，D是AB的中点，∴ AB?CD． ???????4分

?A1D?CD?D，∴AB?平面A1DC． ???????6分

∵AB?平面ABC，∴平面A1DC?平面ABC． ???????8分 （2）证明：连结C1A，设AC1?AC?E，连结DE． 1高三数学Ⅰ 第7页（共14页）

∵三棱柱的侧面AAC11C是平行四边形，∴E为AC1中点． ???????10分 在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1． ???????12分 ∵DE?平面A1DC，BC1?平面A1DC，∴ BC1∥平面A1DC． ???????14分 17．解：（1）梯形ABCD的面积

SABCD?2cosq?2p?sinq=sinqcosq?sinq，q?(0,)． ???????2分 22p体积V(q)?10(sinqcosq?sinq),q?(0,)． ???????3分

2（2）V?(q)?10(2cos2q?cosq?1)?10(2cosq?1)(cosq?1)． 令V?(q)?0，得cosq?1，或cosq??1（舍）． 2pp∵q?(0,)，∴q?． ???????5分

23p1当q?(0,)时，?cosq?1，V?(q)?0,V(q)为增函数；

23pp1当q?(,)时，0?cosq?，V?(q)?0,V(q)为减函数． ???????7分

322∴当q?p时，体积V最大． ???????8分 3qp（AB?2BC?CD）?10=20(cosq?2sin?1)，q?(0,)． （3）木梁的侧面积S侧?22qpS?2SABCD?S侧=2(sinqcosq?sinq)?20(cosq?2sin?1)，q?(0,)．???????10分

22qpqq设g(q)?cosq?2sin?1，q?(0,)．∵g(q)??2sin2?2sin?2，

2222∴当sinq1p?，即q?时，g(q)最大． ???????12分 223又由（2）知q?所以q?p时，sinqcosq?sinq取得最大值， 3p时，木梁的表面积S最大． ???????13分 3综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． ???????14分 9??182?a2?27,?1,???18．解：（1）由已知，得?a2b2 解得?227 ???????2分

?9?b?.9?2?2?2?1,b?ax2y2 所以椭圆的标准方程为??1． ???????3分

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