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泰勒公式与导数的应用

名称 泰 勒 公 式 主要内容 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2??2! f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1（?其中Rn(x)?(n?1)!介于x0于x之间），称为拉格朗日型余项；或Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 其中Rn(x)?(n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n????(?1)?o(x2n?2) 2）sinx?x?3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx?????(?1)?o(x2n?1) 3）cosx?1?2!4!6!(2n)!n?1x2x3nx????(?1)?o(xn?1) 4）ln(1?x)?x?23n?11?1?x?x2???xn?o(xn) 1?xm(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nmx???x?o(xn) 6）(1?x)?1?mx?2!n!5）

巩固练习

★1.按(x?1)的幂展开多项式f(x)?x4?3x2?4。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求f(x)按(x?x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n?1阶的导

数在x?x0处的值，然后带代入公式即可。

32解：f?(x)?4x?6x，f?(1)?10；f??(x)?12x?6，f??(1)?18；

f???(x)?24x，f???(1)?24；f(4)(x)?24；f(4)(1)?24；f(5)(x)?0；

将以上结果代入泰勒公式，得

f?(1)f??(1)f???(1)f(4)(1)23f(x)?f(1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)41!2!3!4!?8?10(x?1)?9(x?1)2?4(x?1)3?(x?1)4。

★★2.求函数

f(x)?x按(x?4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：同1。 解：f?(x)?12x，

1?311f?(4)?；f??(x)??x2，f??(4)??；

4432715?3?53(4)(x)??x2；将以上结果代入泰勒公式，得 f???(x)?x2，f???(4)?；f168256f?(4)f??(4)f???(4)f(4)(ξ)23f(x)?f(4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)4

1!2!3!4!111?2?(x?4)?(x?4)2?(x?4)3?4645125128ξ72(x?4)4，（ξ介于x与4之间）。

★★★3.把

1?x?x2f(x)?1?x?x2在x?0点展开到含x4项，并求f(3)(0)。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

1?1?x?x2???xn?o(xn)。 1?x

解：

1?x?x21?x?x2?2x2x1f(x)???1??1?2x(1?x)1?x?x21?x?x21?x?x21?x3?1?2x(1?x)(1?x3?o(x3))?1?2x?2x2?2x4?o(x4)；

又由泰勒公式知x前的系数

★★4.求函数

3f???(0)?0，从而f???(0)?0。 3!f(x)?lnx按(x?2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论

n?1x2x3nx????(?1)?o(xn?1)。 ln(1?x)?x?23n?1方法一：（直接展开）f?(x)?f???(x)?2x3，

1111，f?(2)?；f??(x)??2，f??(2)??； x2x41(n?1)!(n)n?1(n?1)!，； f???(2)?；?,f(n)(x)?(?1)n?1f(2)?(?1)4xn2n将以上结果代入泰勒公式，得

f?(2)f??(2)f???(2)f(4)(2)23lnx?f(2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)4?L1!2!3!4!f(n)(2)1113?(x?2)n?o((x?2)n)?ln2?(x?2)?3(x?2)2?(x?2)?? 3n!223?2?(?1)n?11nn(x?2)?o((x?2))。 nn?2x?2x?21x?22)?ln2??() 22221x?231x?2nx?2n11?()???(?1)n?1()?o(())?ln2?(x?2)?3(x?2)2 32n2222113n?1nn?(x?2)???(?1)(x?2)?o((x?2))。 3n3?2n?21★★5.求函数f(x)?按(x?1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。

x方法二：f(x)?lnx?ln(2?x?2)?ln2?ln(1?知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

11?1?x?x2?L?xn?xn?1。 n?21?x(1??)方法一：f?(x)??1x2，

f?(?1)??1；f??(x)?2x3，

f??(?1)??2；f???(x)??6x4，

f???(?1)??6?,f(n)(x)?(?1)nn!n!(n)nf(?1)?(?1)??n!； ，n?1n?1(?1)x