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因数与倍数

课前预习

因数与倍数

一天，因数和倍数走到了一起。倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？” “我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。 “我是老大呀。” “你是老大？为什么”

“你说，一个数的倍数有多少个呀？” “这我知道，一个数的倍数有无数个。”

只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。你说，你不应该拜我吗？”

“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。

只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。刚才是我不对，我向你道歉了。”

“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。 在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。

因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。

知识框架

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五年级奥数.数论.因数与倍数（A级）.教师版

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一、 约数的概念与最大公约数

0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；

21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)?2?3?6；

32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2285?30?915；30?15?2315；600?315?1285；315?285?130；

0；所以1515和600的最大公约数是15．

2． 最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n． 3． 求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；

b即为所求． a二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； ②短除法求最小公倍数；

21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；

32③[a,b]?a?b． (a,b)2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

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②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤

b先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；a35[3,5]15?即为所求．例如：[,]?

412(4,12)4?14??1,4?注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：?,???4 ?23??2,3?三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m为A、B的最大公约数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数

b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

四、求约数个数与所有约数的和

1． 求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

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