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高中数学学习材料

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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

一、选择题

1．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是( ) A．第4项 【答案】 B

【解析】 (x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．

1

x3＋2?n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于( ) 2．若?x??A．210 【答案】 A

【解析】 由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.

310－r?1?rr30－5r

2＝C10·Tr＋1＝Cr·(x)·x. 10

?x?6

令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C10＝210.

B．第4、5两项 C．第5项 D．第3、4两项

B．120 C．461 D．416

3．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为( ) A．2 【答案】 A

1234【解析】 ∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C8＝8，a2＝a6＝C8＝28，a3＝a5＝C8＝56，a4＝C8＝70，∴奇数的个

B．3 C．4 D．5

数是2，故选A.

n1n1nk4．设n为自然数，则C0＋…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn2－Cn2n2n＝( )

－

－

A．2n 【答案】 D

B．0 C．－1 D．1

【解析】 原式＝(2－1)n＝1，故选D.

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2

x2＋?8的展开式中x4项的系数是( ) 5.?x??A．16 【答案】 D

28r【解析】 考查二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr(2x1)r＝Cr2r·x168(x)8·

－

－

－3r

B．70 C．560 D．1120

，

44∴16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C82＝1120. 46．(2－x)8展开式中不含x．．项的系数的和为( )

A．－1 【答案】 B

B．0 C．1 D．2

r

r

C8x2，则【解析】 (2－x)的通项式为

8

8－r

Tr＋1＝Cr(－82

x)＝(－1)·2

rr8－r

x4项的系数为1，展开式中所有项

的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.

二、填空题

1

x2＋3?n展开式的各项系数之和为32，7．若?则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)． x??【答案】 5 10

－?1?rr10－5r

3＝C5·【解析】 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr(x2)5r·x，令10－5r＝0，r＝2.故常数项5·?x?

为T3＝10.

8．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．

【答案】 2n1 32

－

【解析】 用不完全归纳法，猜想得出．

三、解答题

9．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值． (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．

【解析】 (1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1① (2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010② 与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，

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1－32010

∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.

2

(3)∵Tr＋1＝Cr12010r·(－2x)r＝(－1)r·Cr(2x)r， 2010·2010·

－

∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010， 所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010. 10．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．

【解析】 方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，

rk则Tr＋1＝Cr(x－2x2)r·(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ck·(－2x2)k＝(－2)k·Ckxxk. 5·rxr·

－

＋

令r＋k＝4，则k＝4－r.

∵0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∈N，

????r＝2?r＝3?r＝4??∴或或?. ?k＝2??k＝0??k＝1?

234∴展开式中含x4的项为[C5·(－2)2·C2(－2)·C1(－2)0·C0x4＝－15x4. 2＋C5·3＋C5·4]·

方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5·(1＋2x)5， 则展开式中含x4的项为

023C5·C4(2x)4＋C1(－x)·C3(2x)3＋C2(－x)2·C2(－x)3·C1(2x)＋C4(－x)4·C0(2x)0＝－15x4. 5·5·5·5·5(2x)＋C5·5·5·5·

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