内容发布更新时间 : 2024/5/3 19:54:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

带电粒子在有界磁场中的临界、极值和多解问题

1.(25分)如图所示,在xOy坐标系中, 第一象限有沿x轴负方向的匀强电场,第二象限有垂直坐标平面向内的匀强磁场.质量为m、电荷量为q的带正电粒子,自x轴上的P点以速度v0垂直电场射入电场中,PO之间距离为d,粒子离开电场进入磁场时与y轴正向夹角为30°,不计粒子重力和空气阻力.

(1)求匀强电场的电场强度大小.

(2)若粒子能返回电场中,则磁感应强度大小B应满足什么条件? 解析:(1)由题知,粒子离开电场进入磁场时速度大小v=

由动能定理得qEd=mv2- ,解得E=

v 0

(2)设粒子在电场中运动时间为t,离开电场进入磁场时位置与O点距离为y

d= t= t,y=v0t=2 d

由题分析知,若粒子能返回电场中,其在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r须满足 r≤y

而qvB=m ,即r= ,联立解得B≥ .

答案:(1)2.

(2)B≥

(25分)(2014·河北唐山一模)如图所示平面直角坐标系xOy第一象限存在匀强电场,电场与x轴夹角为60°,在边长为L的正三角形PQR范围内存在匀强磁场,PR与y轴重合,Q点在x轴上,磁感应强度为B,方向垂直坐标平面向里.一束包含各种速率带正电的粒子, 由Q点沿x轴正方向射入磁场,粒子质量为m,电荷量为q,重力不计.

(1)某同学判断,由磁场PQ边界射出的粒子,只要速度足够小,就可以不进入第一象限的电场,试分析该同学的说法是否正确,并说明理由.

(2)若某一速率的粒子离开磁场后,恰好垂直电场方向进入第一象限,求该粒子的初速度大小和进入第一象限位置的纵坐标. 解析:

1

(1)描出某一条由PQ边界出场的运动轨迹,由几何关系可知粒子射出磁场的速度与PQ的夹角为30°,与x轴间的夹角为60°,所以一定能够进入第一象限,该同学的判断错误.

(2)粒子垂直电场进入第一象限,轨迹如图.由几何关系可知转过的圆心角为30°,R=2OQ= L

qv0B=

可得v0=

离开磁场时的纵坐标y=R-Rcos30°=( )L 答案:(1)见解析 (2)3.

( )L

(25分)(2014·湖北荆州二检)如图所示,在边长为L的正方形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B.P点位于正方形的对角线CE上,其到CF、CD的距离均为 ,且在P点处有一个发射粒子的装置(图中未画出),能连续不断地向纸面内的各方向发射出速率不同的带正电的粒子.已知粒子的质量为m,带的电荷量为q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力.

(1)速率在什么范围内的粒子不可能射出正方形区域? (2)求速率v=

的粒子在DE边的射出点与D点的距离d的范围.

解析:因粒子的速度方向垂直于磁场方向,故其在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动.

(1)依题意可知,粒子在正方形区域内做圆周运动,不射出该区域的半径为r≤ 对粒子,由牛顿第二定律有qvB=m 即v= (2)当v=R=

.

时,设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R,则由qvB=m 可得

2

甲

乙

要使粒子从DE边射出,则其必不能从CD边射出,其临界状态是粒子的轨迹与CD边相切,设切点与C点的距离为x,其轨迹如图甲所示,由几何关系得

R2=(x- )2+(R- )2 解得x=L

设此时粒子在DE边的出射点与D点的距离为d1,由几何关系有(L-x)2+(R-d1)2=R2 解得d1=

而当粒子的轨迹与DE边相切时,粒子必将从EF边射出,设此时切点与D点的距离为d2,其轨迹如图乙所示,由几何关系有

R2=(L-R)2+(d2-)2

解得d2=

的粒子在DE边的射出点距离D点的范围为 ≤d<

故速率v=

.

答案:(1)v≤ (2) ≤d<4.(25分)

如图所示,垂直于纸面向里的水平匀强磁场和竖直向上的周期性变化的电场,变化周期T=12t0,电场强度的大小为E0,E>0表示电场方向竖直向上.另有倾角为30°足够长的光滑绝缘斜面AB放置在此空间.t=0时,一带负电、质量为m的小球(可视为质点)从斜面顶端的A点由静止释放开始沿斜面运动,到C点后,做一次完整的圆周运动,在t=12t0时刻回到C点,再继续沿斜面运动.在运动过程中小球电荷量不变,重力加速度为g,上述E0、m、t0、g为已知量.试求:

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