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专题复习(一) 数学思想方法

类型1 整体思想

整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：

1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值． 2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出． 这种思想可以应用到各种类型的题之中．

4a2

(2017·北京)如果a＋2a－1＝0，那么代数式(a－)·的值是(C)

aa－2

2

A．－3 B．－1 C．1 D．3

【思路点拨】 先化简所求代数式，然后把方程变形成a2＋2a＝1，利用整体代入的方法求代数式的值．

1．(2018·孝感)已知x＋y＝43，x－y＝3，则式子(x－y＋

A．48

4xy4xy

)(x＋y－)的值是(D) x－yx＋y

B．123 C．16 D．12

2x＋3xy－2y11

2．(2018·南充)已知－＝3，则代数式的值是(D)

xyx－xy－y

71193

A．－ B．－ C. D. 222411

3．(2018·云南)已知x＋＝6，则x2＋2＝(C)

xx

A．38

B．36 C．34 D．32

4．(2018·玉林)已知ab＝a＋b＋1，则(a－1)(b－1)＝2．

5．(2018·菏泽)若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为－12．

???3x－my＝5，?x＝1，

6．(2018·滨州)若关于x，y的二元一次方程组?的解是?则关于a，b的二元一次方程组

?2x＋ny＝6?y＝2，??

??3（a＋b）－m（a－b）＝5，

?的解是?2（a＋b）＋n（a－b）＝6?

?

?1． ?b＝－23a＝27．(2018·内江)已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为1．

类型2 分类思想

分类讨论思想常见的六种类型：

1．方程：若含有字母系数的方程有实数根，要考虑二次项系数是否等于0，进行分类讨论．

2．等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是

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底边，所给出的角是顶角还是底角进行分类解决．

3．直角三角形：在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时，若没有指明直角边和斜边，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理即可求解．

4．相似三角形：若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论．

5．一次函数：已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求k的值，常分直线交坐标轴于正半轴和负半轴两种情况讨论；确定反比例函数与一次函数交点个数，常分第一、三象限或第二、四象限两种情况讨论．

6．圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论．

(2017·孝感)已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为30°或150°．

【思路点拨】 先根据等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理分别求出∠AOC和∠AOD的度数，再根据点D位置的不确定性进行分类讨论，求出∠COD的度数．

3

1．(2018·乐山)已知实数a，b满足a＋b＝2，ab＝，则a－b＝(C)

4

A．1

5

B．－

2

5

C．±1 D．±

2

2．(2018·安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)

A．12

B．9 C．13

D．12或9

3．(2018·潍坊)如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S平方厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是(D)

A B C D

4．(2018·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝－1或7．

m＋31m15．(2018·齐齐哈尔)若关于x的方程＋＝2无解，则m的值为－1或5或－．

3x－4x＋4x－16

5126．(2017·随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝或时，35以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．

7．(2017·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，?ABCO的顶点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)，动点3

P在直线y＝x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与?ABCO的边相切时，P点的坐

29－352标为(0，0)或(，1)或(3－5，)．

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类型3 化归思想

化归的思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”的解题方法．

化归思想常见的六种类型：

1．在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程．

2．多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决．

3．立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化．

4．一般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题．

5．化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解．

6．转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的．

︵

如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作︵4CE交OB于点E.若OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为π＋23．(结果保留π)

3

【思路点拨】 连接OD，根据点C为OA的中点可得∠CDO＝30°，继而可得∠DOC＝60°，求出扇形AOD的面积，最后用S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD)即可求出阴影部分的面积．

1．(2017·山西)如图是某商品标志的图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)

2

A．5π cm B．10π cm2 C．15π cm2 D．20π cm2

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