内容发布更新时间 : 2024/6/28 22:47:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

梅涅劳斯定理与塞瓦定理

板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理

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梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，

AFBDCE那么???1．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．

FBDCEAAGFAAFGEBCDBH1ECDFH2EH3CD

B

证法一：如左图，过C作CG∥DF

DBFBECFG∵， ??DCFGAEAFAFBDCEAFFBFG∴??????1． FBDCEAFBFGAF证法二：如中图，过A作AG∥BD交DF的延长线于G

AFAGBDBDCEDC∴，， ???FBBDDCDCEAAGAFBDCEAGBDDC三式相乘即得：??????1．

FBDCEABDDCAG证法三：如右图，分别过A、H2、H3． B、C作DE的垂线，分别交于H1、则有AH1∥BH2∥CH3，

AFBDCEAH1BH2CH3所以??????1．

FBDCEABH2CH3AH1梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，

AFBDCE如果???1，则F、D、E三点共线．

FBDCEA

夯实基础

【例1】 如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求

证：AE:ED?2AF:FB．

AFEBDC

【解析】 ∵直线FEC是△ABD的梅氏线，

AEDCBFDC1AE1BFAE2AF∴． ???1． 而?，∴???1，即?EDBCFABC2ED2FAEDBF

习题1. 在△ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点

FAEA． ?F．求证：

FCEBFAEBDC

【解析】 直线截△ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知

CDBEAF???1，又因为DBEAFCBD?BC，所以

BEAFFAEA． ??1，即?EAFCFCEB

习题2. 如图，在△ABC中， ?ACB?90?，AC?BC．AM为BC边上的中线，

AE． CD?AM于点D，CD的延长线交AB于点E．求EBCMDAEB

【解析】 由题设，在Rt△AMC中，CD?AM，AC?2CM，

ADAD?AMAC2由射影定理???4．

DMDM?AMCM2AEBCMDAE21对△ABM和截线EDC，由梅涅劳斯定理，???1，即???1．

EBCMDAEB14AE所以?2．

EB

探索提升

【例2】 如图，在△ABC中，D为AC中点，BE?EF?FC，求证：BM:MN:ND?5:3:2． ADMBENFC

【解析】 ∵直线AE是△BCD的梅氏线，

BMDACE∴???1． MDACEBBM12BM1∴???1，∴? MD21MD1∵直线AF是△BCD的梅氏线， BNDACF∴???1， NDACFBBN11BN4∴???1，?． ND22ND1∴BM:MN:ND?5:3:2．

习题3. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE:EF:FD?4:3:1．求AG:GH:AB．

AGEHB【解析】 ∵HFC是△ABD的梅氏线，

FDC