内容发布更新时间 : 2024/9/18 5:24:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

切线长定理与三角形内切圆

一、 基础知识点

(一) 知识点一：切线长定理

1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长

2. ? ?

3.

切线和切线长是两个不同的概念

切线是一条与圆相切的直线，不能度量；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 4.

方法总结

解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点 5.

切线，常有六 性质

1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 6. 例1

如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD 示例讲解

例2

例3

(二) 知识点二：三角形的内切圆 1. 2.

问题：怎样做三角形内切圆 方法：作角平分线

1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.。。2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.。。3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆. 3. 4.

定义

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 性质

内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。

5. 外心与内心

名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆三角形三边中垂线的(1) OA=OB=OC； 的圆心） 交点 (2) 外心不一定在三角形的内部． 内心（三角形内切圆三角形三条角平分线（1）到三边的距离相等； 的圆心） 的交点 （2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ ACB； （3）内心在三角形内部． 6. 示例讲解

例4如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。

例5

(三) 知识点三：三角形内切圆的半径 1.

常见结论

(1) 如图，⊙I切△ABC三边于点 D、E、F，则

AD=AF=

12(AB?AC?BC) BD=BE=12(AB?BC?AC) CE=CF=12(AC?BC?AB)S1ABC?r(AB?BC?AC) (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，边

2BC、AC、AB的长分别为a、b、c，内切圆O的半径r

r?a?b?c2?aba?b?c

(3) 等边三角形ABC，AB=a，的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R R?33a ,r=36a 例7

例8

二、 题型及易错点

题型一：切线长定理的应用。。。题型二：已知三角形三边长，求内切圆半径。。。题型三：求与三角形内切圆相关的角度(一) 易错点一：误认为切线长定理有逆定理

误认为两条线条相等，若一条线段是圆的切线，则另一条线段也为圆的切线 (二) 易错点二：混淆三角形内心和外心的概念

内心是角平分线的交点 外心是垂

直

平

分

线

的

交

点