内容发布更新时间 : 2024/5/20 4:25:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

微专题《中点弦与点差法》

———教学设计说明

【考情分析】

1、高考要求 （1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；

（3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；

（4）了解曲线与方程的对应关系； （5）理解数形结合的思想；

（6）了解圆锥曲线的简单应用。

从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。

2、历届高考文科数学（全国卷1）调研 （1）考察形式、难度、分值情况 题型 全国卷 小题 大题 赋分 5分 5分 12分 2013 2014 2015 2016 4（简单） 4（简单） 5（简单） 5（简单） 10（中档） 10（简单） 16 (中档) 10 (简单) 20（较难） 20（中档） 20 (简单) 20（中档）

（2）文科数学（全国卷1）命题趋向 题型 小 题 2010 8双曲线：双曲线方程与焦点三角形 2011 11圆：圆与圆的位置关系和圆心距 2012 4椭圆：椭圆离心率与焦点三角形 10等轴双曲线与抛物线：双曲线实轴长 20.圆锥曲线：抛物线与圆方程，点线距离 2013 4双曲线：渐近线方程 2014 4双曲线：离心率与参数的取值范围 10抛物线：焦半径的长 2015 2016 全 国 卷 5椭圆与5椭圆：抛物线：椭圆的求准线离心率 与弦长 16双曲线：焦点三角形面积 15 圆：直线和圆的位置关系 16椭圆：16双曲椭圆与线：焦点离心率 三角形的角平分线 22.抛物线：直线与抛物线的位置关系 22椭圆：点在椭圆上与四点共圆 8抛物线：焦点三角形的面积 大 题 20圆与椭圆：圆与圆的位置关系和直线与椭20圆锥曲线：椭圆方程，圆的弦长与三角形面20 圆：直线与圆的位置关系及求弦长 20 抛物线：直线和抛物线的位置关系 圆的位置关系 积 从以上近7年全国高考在解析几何部分的命题分布看：都是两小题一道大题（即两小一大）的题型设置；圆锥曲线由2010年，2011年的设置的第一题在8题和11题位置，到2012至2015年第一题基本稳定在4、5两道题的位置。我们可以看到总体上全国卷在解析几何部分的命题，难度在降低，更注重比如定义、标准方程、离心率、渐进线方程等基础知识的考察。基本上是椭圆、双曲线、抛物线、圆中四选三各一道题目，直线与圆很少单独考察，而是与圆锥曲线结合。

在近7年的解析几何大题部分，椭圆考查了3次、抛物线和圆各考查2次，没有考过双曲线。实际上全国卷在近十年高考中也只有08年考过一次双曲线的大题。这与《考试说明》对三者的要求是一致的。

【复习本专题的意义】

解析几何是高考的重点，也是难点。一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点， 把交点代入圆锥曲线的方程， 得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。

本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2017年高考取胜作充分准备。

【教学内容】

直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2??1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在例1、过椭圆164的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2?1)x2?8(2k2?k)x?4(2k?1)2?16?0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

8(2k2?k)x1?x2?， 24k?1x1?x24(2k2?k)??2， 又M为AB的中点，所以

24k2?11解得k??， 故所求直线方程为x?2y?4?0。

2解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点，

所以x1?x2?4，y1?y2?2，又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2?16，两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0， 所以

22222222y1?y2x?x211??1??，即kAB??，故所求直线方程为x?2y?4?0。

x1?x24(y1?y2)22解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1），

则另一个交点为B(4-x,2?y)，

?x2?4y2?16因为A、B两点在椭圆上，所以有?， 22?(4?x)?4(2?y)?16两式相减得x?2y?4?0，由于过A、B的直线只有一条， 故所求直线方程为x?2y?4?0。

二、求弦中点的轨迹方程问题

x2y2??1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方例2、过椭圆

6436程。

解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），

?9x12?16y12?57622229(x?x)?16(y?y则有?，两式相减得1212)?0， 22?9x2?16y2?576又因为x1?x2?2x，y1?y2?2y，所以9?2x(x1?x2)?16?2y(y1?y2)?0， 所以

y1?y29xy9xy?0??，而kPQ?，故。

x1?x216y16yx?8x?(?8)22化简可得9x?72x?16y?0 （x??8）。

解法二：设弦中点M（x,y），Q（x1,y1）， 由x?x1?8y，y?1可得x1?2x?8，y1?2y， 2222xy又因为Q在椭圆上，所以1?1?1，

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