内容发布更新时间 : 2024/5/13 18:34:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《热学教程》习题参考答案

第四章 习 题

4-1. 电子管的真空度为1.333×10?3Pa,设空气分子有效直径为3.0×10?10m,求27℃时空气分子的数密度n,平均自由程?和碰撞频率Z.(答: 3.2×1017m?3，7.8 m，60s?1) 解：由P?nkT，可得

n?P?3.21?1017(m?3) kT分子平均自由程为

??碰撞频率为

12?dn2?7.78(m)

Z?v??8RT????60.2(s?1)

4-2. 求氦原子在其密度2.1×10?2kg/m3,原子的有效直径d?1.9×10?10m的条件下的平均自由程?.(答:1.97×10?6m) 解：由??mn?n??NAn，可得

?NA?3.16?1024(m?3) ?分子平均自由程为

??1?6?1.972?10(m) 22?dn4-3. 试估算宇宙射线中的质子在海平面附近的平均自由程.(答：约1.2?10?6m)

4-4. 测得温度15℃和压强76cmHg时氩原子和氖原子的平均自由程分别为

?Ar=6.7×10?8m和?Ne=13.2×10?8m，试问：(1)氩原子和氖原子的有效直径各为多少？(2) 20℃和15cmHg时?Ar和-40℃和75cmHg时?Ne多大？(答(1)3.63?10?10m,

2.59?10?10m; (2) 3.45?10?7m, 1.08?10?7m)

1

解：(1)由??1kT?，可得 222?dn2?dP12dAr?kT?????2?P??Ar???3.63?10?10(m)

12?kT??dNe???2?P??Ne???2.59?10?10(m)

(2)由分子平均自由程与温度及压强的关系

?Ar2??Ne2?T2P293?761?Ar1??6.7?10?8?3.45?10?7(m) P2T115?288T2P233?761?Ne1??13.2?10?8?1.08?10?7(m) P2T175?2884-5. 高空的一片降雨云层,单位时间通过单位面积的降雨量为Q=10cm/hour。设雨滴在垂直降落过程中始终保持半径为R=1mm的球状，空气对它的阻力正比与雨滴的速率，比例系数?是常数，等于3.0×10?3g/s。现有一小昆虫以恒定的速度u(u?10m/s)在此雨区内作水平飞行，若把小昆虫处理为半径为r=4 mm的小球，当降雨持续稳定后，试确定此小昆虫在雨区中飞行时的平均自由程之上限和下限。(答:?max?26.3cm, ?min?0)

4-6. 在5cm×5cm×5cm加热到770 K的炉膛中充满原子量为133的铯(Cs)饱和蒸汽,蒸汽压为1.1×104Pa.已知铯原子的有效直径为5.40×10?10m，试求:(1)一个铯原子飞越炉膛而不经受一次碰撞的概率多大? (2)一个铯原子每秒钟平均发生多少次碰撞? (3)整个炉膛中所有铯原子之间每秒钟将发生多少次碰撞?确(答:(1)exp?6.7?104; (2)4.67×108s?1; (3) 3.0×1028s?1)

4-7. 一氢分子(直径为1.0×10?10m)以方均根速率从炉中(T?4000K)逸出进入冷的氩气室中，室内氩气密度为40×1025个原子每立方米(氩原子直径为3.0×10?10m)，试问：(l)氢分子的速率为多大？(2)把氩原子与氢分子都看成球体，则在相互碰撞时它们中心之间靠得最近的距离为多少？(3)最初阶段，氢分子每秒内受到的碰撞次数为多少？（答：(1)7063 m/s (2)2.0×10?10m (3)3.55×1011s?1） 解：(1) v?v2???3RT??7061(m/s)

2

(2) d?dH2?dAr2?2.0?10?10(m)

(3) 碰撞次数为

N?Z??d2nv?3.55?1011(s?1)

4-8. 某种气体分子的平均自由程为10cm。在10000段自由程中(1)有多少段比10cm长? 有多少段比50cm长? (2)有多少段长于5cm和短于10cm以及界于9.9cm和10cm之间? (3)自由程恰为10cm的气体分子有多少?(答:(1)3679,67 (2)2386,37 (3)无 ) 解：(1) 已知：??10cm，N0?10000，?1?10cm，?2?50cm，

N1?[1?P(?1)]N0?N0exp(??11)?N0?3679 ?e?21)?5N0?67 ?eN2?[1?P(?2)]N0?N0exp(???10cm，?4?9.9cm，?4??10cm (2) 已知：?3?5cm，?3?)?P(?3)]N0?N0{[1?exp(?N3?[P(?3??3?)]?[1?exp(?3)]}?????11?N0[exp(?3)?exp(?3)]?(0.5?)N0?2386??ee?)?P(?4)]N0?N0[exp(?N4?[P(?4??10cm (3) 已知：?5?10cm，?5

?4??11)?exp(?4)]?(0.99?)N0?37 ??ee?)?P(?5)]N0?N0[exp(?N5?[P(?5?5??11)?exp(?5)]?(?)N0?0 ??ee4-9. 某时刻氧气中有一组分子都刚与其它分子碰撞过，若已知此氧气的平均自由程为2.0cm，问经过多长时间这一组氧分子中还有一半未与其它分子相碰撞？假设这一组分子都以平均速率在温度为300K的氧气中运动。(答:3.1×10?5s)

解：已知：??2.0cm，T?300K，设经过t时间还有一半未与其它分子相碰撞，则分

子走过的距离为x?vt，v?1?P(x)?exp(?x8RT??，则

1)? → x??ln2?vt ?2则 t???8RT??ln2?3.11?10?5(s)

3

4-10. 需将阴极射线管抽到多高的真空度，才能保证从阴极发射出来的电子中有90%能无碰撞地达到20cm处的阳极？取取温度300K时的空气分子的有效直径3.65×10?10m.(答:2.08?10?2Pa)

解：已知：??20cm，P(?)?90%，T?300K，d?3.65?10?10m，则

1?P(?)?exp(?)?0.9 → ??????ln0.9?190(cm)?1.9(m)

由于电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。又因为，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距离等于或小于的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：

???()2??d2

电子的平均自由程为

d214??则 P?14kT?2 ?n?dP4kT?2?2.08?10(Pa) 2?d?4-11. 设阴极射线管中电子束在数密度为n和有效直径为d的气体中行进。当电子束入射压强为p?13.3 Pa的气体时,在阴极处的电子流为10?4A,而在离阴极距离0.1m处测得的电子流为3.68×10?5A。(1)已知气体分子的有效直径为1?，试应用思考题4-1的结果，求电子的平均自由程?e和气体的温度T；(2)当气体的压强为p?26.6 Pa时，探测器测得的电子流为多少安培? (答: (1)10 cm，757 K；(2)1.35×10?5A)

4-12. 用旋转圆柱体法测量气体的粘滯系数。将半径为R1的圆柱体沿轴悬挂在金属细丝上，柱体外套一个与之共轴的半径为R2的圆筒，其间充粘滯系数需测定的气体。当外筒以一定角速度?转动时，气体粘滯性使圆柱体受到力矩M，产生小扭转角?与金属细丝的扭转力矩M???相平衡。?称为扭转模量，与细丝材料的性质和尺度有关。在金属细丝上固定有光点反射镜，由光点的移动可精确地测定扭转角?，从而求出气体的粘

222?R124??R2R1L，这里的L是圆柱体的长。 滞系数?。试证明粘滞系数????R2??4-13. 设有半径为R2的柱形圆筒，其中含有半径为R1的并与之同轴的圆柱体，以速度u沿轴线朝正z方向运动。试确定粘滞系数为?的、充满柱形圆筒和柱体之间的不可

4

压缩气体(或液体)的流动速度谱v?r?以及作用于柱体表面(或柱形圆筒内壁)单位长度上的粘滞力?。(答:v?r?=uln?rR2?ln?R1R2?；??2??uln?R1R2?) 解：取单位长度柱体，由牛顿粘滞定律及粘滞现象的宏观规律：

K???dvdv?S?t????2?r?t drdr变换： KR1dr?4??tdv ruRdr??2???tdv?Kln1?2???tu 积分：?KR20rR2?RrK2vdrr??2???tdv?Kln?2???tv 0rR2两式比较：v(r)?uln(r/R2)

ln(R1/R2)单位长度柱体表面受到的粘滞力为

????ln(r/R2)dvd2??u?S???[u]?2?R2? drdrln(R1/R2)ln(R1/R2)4-14. 同心圆壳半径分别为r1和r2(r1?r2),中间充满热导率为?的气体。在球中心装有辐射功率为P的球形热源,使得内圆壳的温度T2,外圆壳的温度T1,试求气体内稳定的温度分布和确定热导率?的公式.(答: ?T?T20??T10?T20??r2?1?r?1???r?12?r1?1;

???Pr2?1?r1?14??T20?T10?.)

解：气体内稳定时，一定时间内球形热源向外传递的热量是恒定的，由热传导定律

P???dT?4?r2 dr??变换： Pr1dr?4??dT 2rT1dr11?4??dT?(?)P?4??(T1?T2) ?2T2rr1r2Tdr11?4??dT?(?)P?4??(T?T2) ?2T2r2rr积分：?Pr2?rr2P 5