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《通信原理》习题第二章

第二章习题

习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：

X(t)?2cos(2?t??), ???t??

式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=0.5，P(?=?/2)=0.5 试求E[X(t)]和

RX(0,1)。

解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=

/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?tcos?t

习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：

X(t)?2cos(2?t??), ???t?? 判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

RX(?)?lim1T??T?T/2?T/2X(t)X(t??)dt ?lim1T??T?T/2?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dt?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t

P(f)???f??t??RX(?)e?j2?d??????(ej2?e?j2?t)e?j2?f?d? ??(f?1)??(f?1)

习题2.3 设有一信号可表示为：

X(t)?{4exp(?t) ,t?00, t<0 试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：

X(?)?????t??x(t)e?j?tdt????04e?te?jdt?4????(1?j?)t0edt?41?j?

2则能量谱密度 G(f)=X(f)2=

41?j??161?4?2f2

习题2.4 X(t)=

x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高

斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2

。试求：

(1)E[X(t)]，E[

X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)

解

：

(1)

E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0

PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。

又因为E?x1??E?x2??0，?2?E?x21??E2?x1?，所以E?x21??E?x22???2。

故 E?X2?t????cos22?t?sin22?t??2??2

(2)因为

x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以

X?t?也服从高斯分布，其概率分

2布函数

p?x??1exp??z??2?????2?2?。 ?(3)

RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2??

??2?cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2?

??2cos2??t2?t1?

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f2?

解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功

率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X(t)=A

cos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

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《通信原理》习题第二章

解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)? A2

图2-1信号波形图

(2)因为

?12AE?cos???cos?(2t??)??22cos???R(?) 功率P=R(0)=

A22

X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可

习题2.7 设

X1?t?和

X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为

RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。

解：

(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[

X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]

=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)

习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)

cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为

?10?4Pf)??f2,?10 kHZ?f?10 kHZX(?0,其它 (1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。

?1??, ?1???0解：(1)R?x?????1??0???1 ??0,其它其波形如图2-1所示。 Rx??? 12

?1 0 1 ?

视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此

P??1x????12???????0???????0???2Sa2???2?1????

?1?Sa2????0??Sa2????0?4????????2??2???P?1?2????Px???d??12,或S?Rx?0??12

习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =

sin?f?f。试求此信号的自相关函数

。

解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)2=

sin?f2?f

?1??, ?1???0其自相关函数RX?????????G(f)ej2?f?df???1??0???1

??0,其它

习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rkn????2e-k?，k为常数。

(1)试求其功率谱密度函数

Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。

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《通信原理》习题第二章

解：(1)

P?n(f)??????Rn(?)e?j??d?????k??2e?ke?j??d??k2k2?(2?f)2

P?Rn?0??k2

(2)Rn(?)和Pn?f?的曲线如图2-2所示。

Rn???Pn?f? k21 0 ?图2-2 0 f

习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：

R(?)?1??, ?1???1

试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。

解：详见例2-12

习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为

P???10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZX(f)?0,其它

试求其平均功率。

解：

P????10*1034242??PX(f)df?2?010fdf?2*10?4*f31030?3*108

?t/?习题2.13 设输入信号x(t)???e,t?00,t?0 ，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器（见图

?2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的系统函数为

H(f)=

X(t)?2cos(2?t??), ???t??

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=11??

1?j2?f???j2?f?C R 输出信号y(t)的能量谱密度为

图2-3RC G

高通滤波y(f)?Y(f)2?X(f)H(f)2?R?(R?1j2?fC)(1?1j2?f?)习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式

中，?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).

解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?

习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

n02的白噪

声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。

解：参考例2-10

习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为

n02的

高斯白噪声时，试求

(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解：(1)LC低通滤波器的系统函数为

2L C H(f)=

j2?fC

2?11?4?2f2LCj2?fC?j2?fL图2-4LC低通滤波器

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《通信原理》习题第二章

输出过程的功率谱密度为

P0(?)?Pi(?)H(?)2?n0Cn04L1221??LCexp(?

E[Z(t)]、E[Z(t)]； （1）

（2）

2对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为

(2) 输出亦是高斯过程，因此

R0(?)?CLZ(t)的一维分布密度函数f(z)； B(t1,t2)解：

和

?)

（3）

R(t1,t2)。

?2?R0(0)?R0?()?R0(0?)Cn04L

（1）

E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]?0n02 的白

因为

2习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

噪声时，试求输出噪声的概率密度。

X12和

X2是彼此独立的正态随机变量，

222X1和

2X2是彼此互不相关，所以

22E[X1X2]?02E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]

又

解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 ,

?2y?R0(0)?n04RCE[X1]?0D(X1)?E[X1]?E[X2]??;

222

?E[X1]??22

所以输出噪声的概率密度函数

同理

E[X2]??222

2py(x)?1?n02RC

exp(?2xRCn02)

代入可得 （2）

E[Z(t)]??

E[Z(t)]=0；E[Z(t)]??由

是一个离散随变量，且

可得

。

(3)

22 又因为

Z(t)是高斯分布

习题2.18

?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)设随机过程，式中?E[?(1)]及R?(0,1)，试求

D[Z(t)]??2f[Z(t)]?

12??exp?(2?z22)

p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2解：

E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Z(t1)]E[Z(t2)]?R(t1,t2)

R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?1/2*2cos(0)2cos(2??0)?1/2*cos(?/2)2cos(2???/2)?2

习题2.19设值为 0、方差为?2

?E[(X1cosw0t1?X2sinw0t1)(X1cosw0t2?X2sinw0t2)]Z(t)?X1cosw0t?X2sinw0t的正态随机变量，试求：

是一随机过程，若

X1和

X2是彼此独立且具有均

?E[(X1cosw0t1cosw0t2?X2sinw0t1sinw0t2)]??cosw0(t1?t2)??cosw0?2222

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《通信原理》习题第二章

令

t1?t2??

习题2.20求乘积

Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数。已知

X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，

且它们的自相关函数分别为Rx(?)、

Ry(?)。

解：

因

X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]?E[X]E[Y]

RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)

习题2.21若随机过程

Z(t)?m(t)cos(w0t??)，其中

m(t)是宽平稳随机过程，

且自相关函数Rm(?)?1??,?1???0R(?)??m?1??,0???1?为

?0,其它 ?是服从均匀分布的随机变量，它与

m(t)彼此统计独立。

（1） 证明

Z(t)是宽平稳的；

（2） 绘出自相关函数RZ(?)的波形；

（3） 求功率谱密度

PZ(w)及功率S 。

解： （1）

Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数；

E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]

?[12?2??cos(w0t??)d?]E[Z(t)]?00

RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]

?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]

E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)只与

t2?t1??有关：

令

t2?t1??

E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}

E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}

?cosw?*E[cos20(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]

?cosw10?*E{2[1?cos2(w0t1??)]}?0 ?12cos(w0?)

RZ(t1,t2)?1*Rm(?)所以

2cos(w0?)只与?有关，证毕。

2）波形略；

?1?2(1??)cos(w0?),?1???0R?1?2cos(w?1Z(?)0?)*Rm(?)??2(1??)cos(w0?),0???1??0,其它??

PZ(w)?RZ(?)

而

RZ(?)的波形为

7

（