内容发布更新时间 : 2024/12/28 9:03:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
学院天津工业大学（2009—2010学年第一学期）
-------------------------------《数学物理方法》(A)试卷解答(2009.12 理学院)
特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
装订专密封业线 班 学---------------------------------------- 号密封 线 姓 名----------------------------------------密 封线--------------------------------------- 满分 30 42 20 8 复 题目 一 二 三 四 总分 核 得分 评阅人
一. 满分 30 填空题(每题3分,共10小题)
得分
1. 复数 e1?i 的指数式为：eei ；
三角形式为：e(cos1?isin1) .
2. 以复数 z0 为圆心，以任意小正实数? 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为z0点的 邻域 .
3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？).
4. 给出矢量场旋度的散度值，即?????f? 0 . 《数学物理方法》(A卷解答)第 1 页 共 8 页
线装订线 装订线5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .
6. 若函数f(z)在某点z0不可导，而在z0的任意小邻域内除z0外处处可导，则称z0为f(z)的 孤立奇点 .
7. ?函数的挑选性为
????f(?)?(??t0)d??f(t0).
8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和
初始条件 .
9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、
输运方程 和 稳定场方程 .
d2?d??l(l?1)??0 . 10. 写出l阶勒让德方程: (1?x)2?2xdxdx2
二. 计算题(每小题7分，共6小题) 满分 42
得分 《数学物理方法》(A卷解答)第 2 页 共 8 页
1. 已知解析函数f(z)的实部u(x,y)?x2?y2?xy，求该解析函数(f(0)?0).
解： ux?2x?y，uy??2y?x，uxx?2，uyy??2. uxx?uyy?0, u(x,y)是调和函数. 2分 利用柯西-黎曼条件
ux?vy,vx??uy, 即，vx?2y?x,vy?2x?y， 2于是，
(x,y)v??(2y?x)dx?(2x?y)dy?C(x,0)(x,y)?(2y?x)dx?(2x?y)dy?)dx?(2x?y)dy?C(0?,0)(x?(2y?x,0)?2xy?y22?x22?C. 2所以，f(z)?z2(1?i2). 12. 给出如图所示弦振动问题在x0点处的衔接条件. 解：
u(x0?0,t)?u(x0?0,t), F(t)?Tsin?1?Tsin?2?0, 又因为
sin?1?tg?1?ux(x0?0,t), sin?2?tg?2??ux(x0?0,t), 所以，
Tux(x0?0,t)?Tux(x0?0,t)??F(t). 《数学物理方法》(A卷解答)第 3 页 共 8 页
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2分
2分 分
13. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.
解：三维输运方程为
ut?a2?u?0 (1分)
?分离时间变数t和空间变数r,以
?? u(r,t)?T(t)v(r) (2分) 上式代入方程,得
T??va2T?v (1令上式等于同一常数?k2, T??v2a2T?v??k (2则得骇姆霍兹方程为
?v?k2v?0 (1
4. 在z0?0邻域把f(z)?(1?z)m展开(m不是整数).
解：先计算展开系数：
f(z)?(1?z)m， f(0)?1m；
f?(z)?m(1?z)m?1?m1?zf(z)； f?(0)?m1m； f??(z)?m(m?1)(1?z)m?2 f??(0)?m(m?1)1m； ?m(m?1)(1?z)2f(z),
所以，(1?z)m在z0?0邻域上的泰勒级数为
(1?z)m?1m?mmm(1!1z?m?1)2!1mz2? ?1m??m(m?1?m1!z??1)2!z2?????. 2《数学物理方法》(A卷解答)第 4 页 共 8 页
分)
分) 分) 5分
分 5. 计算?zdz.
z?212?sin2z解： 因为z?n??此，z0?n???4(n为整数，包括零)，有(12?sin2z)?0，因
?44 1分
是极点.但是，在z?2圆内的极点只有??.又由于
?zzlim??4[(z?4)12?sin2z]???4， lim[(z??)zz???4412?sin2z]???4， 所以， ?zdzz?212?sin2z?2?i[Resf(?4)?Resf(??24)]???i.
6. 求拉氏变换L[cos?t],?为常数. 解: ? cos?t?1(ei?t?e?i?t), L[est12]?p?s 2 ? L[cos?t]?L??1??2(ei?t?e?i?t)??
?1L[ei?t]?1L[e?i?t22] ?1?12??p?i??1?p?i?? ? ?pp2??2 Rep?0
《数学物理方法》(A卷解答)第 5 页 共 8 页
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