广东省化州市实验中学高中数学 3.4 基本不等式导学案 下载本文

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广东省化州市实验中学2014高中数学 3.4 基本不等式导学案 新人教A

版必修5

【教学目标】

1、利用基本不等式求最值. 2、利用基本不等式证明不等式. 【知识要点】 1.基本不等式

(1)重要不等式:对于任意实数a,b,,都有a?b___2ab,当且仅当__________时,等号成立. (2)均值不等式

①形式:_________________;

②成立的前提条件:_________________;

③等号成立的条件:当且仅当__________时取等号; ④对任意两个正实数a、b,

22a+b2

叫做a,b的_______________,ab 叫做a,b的________________.

2.应用基本不等式求最值 如果x,y都是正数,那么

(1)若积xy是定值p,那么当__________时,和x?y有最__________值. (2)若和x?y是定值S,那么当_______时,积xy有最______值.

2m例1、(1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各是多少时,所用的篱

笆最短,最短的篱笆是多少?

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大的面积是多少?

4

例2、(1)若x>0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值;

x3

(2)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值;

2

4

(3)已知x>2,求x+的最小值;

x-219

(4)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.

xy

1

【小结】 在利用基本不等式求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件.即为“一正二定三相等” 【变式训练1】 (1) 若x?0,求f(x)?12x?3x的最小值. (2)若x?0,求f(x)?12x?3x的最大值. (3)已知0<x<1

3

,求函数y=x(1-3x)的最大值;

【变式训练3】(2011·高考北京卷)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8

天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的

生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件

【课后训练】

1.?已知x?514,则函数y?4x?4x?5的最小值是(???????) ???A.-3?????????B.2????????????C.5??????????????D.72.?有下列式子:(1)?a2?1?2a?;?(2)x?1?2;(3)a?b?2;?(4)x21xab?x2?1?1,其中正确的个数是(???? A.0 B.1 C.2 D.3

2

)3.??已知a?0,b?0,a?b?4,则下列各式中正确的不等式是(??)411111??A.?1?????B.?+????????C.ab?2?????D.+?ababab4

4. 若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.

x2?15.?求y?(x?0)?的值域______________.

x6 . (本题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起,包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.

(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少? (2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?

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