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第5讲 数列的综合应用

等差数列与等比数列的综合问题(师生共研)

(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求e1＋e2＋…＋en. 【解】 (1)设{an}的公差为d. 因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. (2)因为e1＝eln 2＝2，a－＝e

en1

aaa

a

a

e

an

a－an－1n＝eln 2＝2，

所以{en}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以e

a

1－2n aa＋

1＋e2＋…＋en＝2×＝2(2n－1)＝2n1－2.

1－2

等差数列、等比数列综合问题的解题策略

(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．

(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．

[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．

(2020·吉林第一次调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1.

(1)证明：{an＋1}为等比数列；

(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由．

解：(1)证明：因为a2＝3，a2＝2a1＋1，所以a1＝1， 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1， 2－2n1＋

所以Sn＝－n＝2n1－n－2，

1－2

所以n＋Sn－2an＝n＋2n1－n－2－2(2n－1)＝0， 所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．

数列的实际应用与数学文化(师生共研)

(2020·重庆八中4月模拟)某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人

口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.

(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)； (2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)

【解】 (1)由题意知，当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，则a10＝50；

当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，则an＝50×0.99n故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为

??0.5n＋45，1≤n≤10，an＝? n－10

?50×0.99，11≤n≤20.?

－10

＋

＋

.

(2)设Sn为数列{an}的前n项和．从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5.

S20S20

所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为≈48.63，则＜49，

2020故到2038年结束后不需要调整政策．

数列实际应用中的常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数

就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．

1．(2020·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为( )

A．6斤 C．9斤

B．7斤 D．15斤

解析：选D.设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}， 则有a1＝4，a5＝2， 所以a1＋a5＝6，

a1＋a5数列{an}的前5项和为S5＝5×＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.

2

2．1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？

解：假如我们设最初有a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a2，a3，a4，a5，a6，得到一个数列1

{an}，依题意，可知数列的递推公式：an＋1＝an－(an－1)－1，

5

4

即an＋1＝(an－1)，

5

4

整理变形，得an＋1＋4＝(an＋4)．

54

故{an＋4}是以为公比的等比数列，

54?

所以a6＋4＝(a1＋4)??5?，

欲使(a6＋4)∈N*，应有a1＋4＝55m(m∈N*)，

故最初至少有桃子a1＝55－4＝3 121个，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020个．

5