内容发布更新时间 : 2024/12/25 10:54:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2讲 不等式的证明
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．
考点2 综合法
一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．
考点3 分析法
证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．
考点4 反证法
证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．
考点5 放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
考点6 柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式
定理1 若a，b，c，d都是实数，则(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
2．柯西不等式的向量形式
定理2 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”．( ) (2)若
2
2
2
2
2
x＋2y>1，则x＋2y>x－y.( ) x－y(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )
(4)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．[2018·温州模拟]若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) 1122A.
aba2
C.
>D．a|c|>b|c| c＋1c2＋1
b答案 C
解析 应用排除法．取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；取c＝0，排除D.显然
11ab>0，对不等式a>b 的两边同时乘以2，立得2>2成立．故选C. c＋1c＋1c＋1c＋1
23．[课本改编]不等式：①x＋3>3x；②a＋b≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是( )
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①② 答案 D
222
baab?3?232222
解析 由①得x＋3－3x＝?x－?＋>0，所以x＋3>3x；对于②，因为a＋b－2(a－b?2?4
2
ba?a－b?
2
2
－1)＝(a－1)＋(b＋1)≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab<0时，a＋b－2＝即b＋aab<2.故选D.
4．[2018·南通模拟]若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是( ) A．a
C．|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c| 答案 D
解析 |a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|，故选D.
5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1
c的最小值为________．答案 9
解析 解法一：把a＋b＋c＝1代入111
a＋b＋c，得
a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c ＝3＋??ba?a＋b???＋??ca?a＋c???＋??c?b＋bc???
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝1
3时，等号成立．
解法二：由柯西不等式得：
(a＋b＋c)??1?a＋1b＋1c???≥???
a·1
11a＋b·b＋c·c??2?
，
即1a＋1b＋1
c≥9.
6．[2017·全国卷Ⅱ]已知a>0，b>0，a3＋b3
＝2.证明： (1)(a＋b)(a5
＋b5
)≥4； (2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5
＋b5
)＝a6
＋ab5
＋a5
b＋b6
＝(a3
＋b3)2
－2a3b3
＋ab(a4
＋b4
) ＝4＋ab(a2
－b2)2
≥4.
(2)因为(a＋b)3
＝a3
＋3a2
b＋3ab2
＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
ab<0，