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微积分课程教学中关于微分的一些思考

作者：单远

来源：《课程教育研究》2018年第40期

【摘要】微积分是全国高等院校尤其是财经类院校本科生教学中的一门重要的通识课程。本文主要探讨了在微积分教学中微分与导数的关系以及微分在积分理论中的作用。 【关键词】 微积分 ;微分 ;导数 ;积分

【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0120-01 微积分的学习对于高等院校学生来说是至关重要的。这门课主要包括极限、微分学、积分学及其应用。该门课程也是后续其它高校数学课程的基础，例如微积分与概率论与数理统计联系密切，连续型变量以及随机向量属于某一区间的概率的计算等都需要用到微积分中积分的内容。因此很多学生由于微积分的部分内容掌握得不够扎实导致在学习大学的一些其他数学类的课程中比较吃力。

微积分主要包括微分学和积分学两个部分。微积分基本定理即牛顿-莱布尼兹公式揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。在一般的微积分的教材中，原函数的定义最初是出现在微分这一节中。原函数是指对于定义在某区间的已知函数f（x），如果存在可导函数F（x），使得在该区间内任一点都存在dF（x）=f（x）dx，则在该区间内就称函数F（x）为函数f（x）的原函数。在这一定义中dF（x）是F（x）的微分。

我们首先简单的介绍微分的定义：设函数y=f（x）在某区间I上有定义，x0是该区间内一点，当x0变动到附近的x0+Δx（也在此区间内）时，如果函数对应的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示为Δy=AΔx+ο（Δx）（其中A是不依赖于Δx的常数），那么f（x）称为在x0是可微的，AΔx称作函数f（x）成为在x0处的微分，记作dy。从微分的定义可以看出dy是Δy的线性主部。因此，微分可视为对函数的局部变化率的一种线性描述。它可用于近似的计算当函数自变量取值作足够小的改变时，函数值的改变。

从上述定义可看出，当函数给定时，很难通过微分的定义计算微分。当把微分的定义与导数的定义结合起来进行对比时，人们发现可微和可导是等价的。导数的定义：函数f（x）在x0处的瞬时变化率是■■=■■，我们称它为函数f（x）在x0处的导数。记作f '（x0）或y'|■。若f（x）在x0处可微，将可微定义中的定义式带入至导数定义式中时可求得 ; f（x）在x0处的导数为f '（x0）=A。从而dy=df=f '（x0）dx。通过这一等式，我们可以非常容易的计算出微分，从而也比较容易的给出函数的近似计算。类似的在可导的前提下，利用计算导数的极限式，我们可以推导出微分的定义式，并且得出A=f '（x0）。因此，若函数f（x）在x0处可微，可推导出f（x）在x0处可导;若 ;f（x）在x0处可导，可得出f（x）在x0处可微。从这一意义上来说可微和可导是等价的。

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也正是由于微分和导数密切的关系尤其是利用导数计算微分这种较为简单的计算方式导致学生对微分的认知非常模糊。在教学过程中，我们发现学生比较容易犯的错误：一是在计算函数的微分时漏写dx;二是在写出微分的定义时给出了Δy=y'Δx+ο（Δx）这样错误的写法。通过这两种错误可以看出在学完微分一段时间之后，部分同学容易将微分的概念和倒数的概念混淆在一起。

在微积分的课程教学当中，经常有同学提出疑问，微分和导数有何区别？

首先，虽然导数和微分都是在自变量微小变化时，研究函数值的变化，但是导数考察函数值的变化率而微分考察的是函数值变化的近似计算。例如，导数可用于求解瞬时速度，微分可用作近似计算比如1.0025的估计。

其次，当我们考虑一段区间上的微分时，作为函数值变化的线性主部，微分函数df是关于x和Δx这两个相互独立的变量的函数。一般地，我们认为微分函数是关于x的函数。需要注意的是dx并不仅仅只是在算完导数后加上的一个符号而已。设f（x）=x，容易算出df=dx=1·Δx。通过这一简单例子的计算，同学们就可以理解在微分这一节内容中Δx到dx的转变。同时，在教学中，我们也可以指出dy，dx不仅仅是符号。本质上他们是函数可以参与运算。比较经典的是通过dy=f 'dx可得出 ;f '=dy/dx。这也解释了导数的符号除了f '以外还有一个符号dy/dx。这一符号是两个微分函数的商，从而这一符号又称为微商。

此外，微分可以帮助学生更好的理解不定积分和定积分的计算过程。微分有一个非常重要的性质：一阶微分的形式不变性。一阶微分的形式不变性是指不论u是自变量还是中间变量，均有dy=f '（u）du。不定积分和定积分的计算比较常见有三种方法：凑微分、分部积分、换元法。有时我们也称凑微分法为第一换元法。凑微分也可以看做是一阶微分形式不变性的逆运算。以不定积分为例，凑微分的过程：假设被积函数可以写成 ; ;f（φ（x））φ'（x）的形式，此时不定积分的形式可表达为■f（φ（x））φ'（x）dx。不定积分表示的是f（φ（x））φ'（x）dx这一微分式的所有的原函数，从而根据微分是函数以及一阶微分的形式不变性，可得 ■f（φ（x））φ'（x）dx=■f（φ（x））dφ（x）=■f（u）du=F（u）+C=F（φ（x））+C 这里u=φ（x），F是f的原函数。

通过上述的内容我们主要分析了微分和导数的联系与区别，微分在积分计算中的作用，并阐述了作者在教学过程中总结的少许经验。作为研究函数的重要工具，微分应当让学生在学习的过程中深刻的理解其定义、性质，这样才能在今后的微积分学习中做到学以致用。 参考文献：

[1]朱来义.微积分[M]. 北京：高等教育出版社， 2002.

[2]赵洪.研究性教学与大学教学方法改革[J].高等教育研究，2013（30）.

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作者简介：

单远（1988.12-），男，汉族，江苏盐城人，博士，讲师，研究方向：动力系统。