内容发布更新时间 : 2024/6/4 0:08:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

切线长定理及三角形的内切圆

一知识回顾

1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3. 常用辅助线

已知PA，PB切⊙O于A，B。

（1） （2） （3） （4） 图（1）中，有什么结论？（PA＝PB）

图（2）中，连结AB，增加了什么结论？（增加了∠PAB＝∠PBA）

图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？（增加了∠OPA＝∠OPB，OP⊥AB，AC＝BC，）。 图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？（增加∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＋∠APB＝180°，以及三角形全等） 4. 和三角形的各边都相切的圆

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。 二 典型例题

例1. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。求证：AC∥OP。

(一题多解)

例2. 已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D。

（1） 若PA = 6，求△PCD的周长。 （2） 若∠P = 50°求∠DOC

例3. 已知，如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作弦AB切小⊙O于C点，AD切小⊙O于E点。

求证：AB＝AD.

例4. 已知：AB为⊙O直径，AD∥BC，∠B = 90°，DC切⊙O于E 求证：（1）CD = AD + BC

（2）∠COD = 90° 例5如图，△ABC中，∠A＝α，O是△ABC的内心。求证：∠BOC=90°＋1? 2

例6已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90° （1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r； （2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r。

例7如图,在⊿ABC中, ∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB、AC都相切,则⊙O的半径是多少?

例8:如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； A O D BCE H F

三课堂练习

四课后练习

1. 如图，△ABC的内切圆⊙O分别切AC、AB、BC于D、E、F，若AB＝9，AC＝7，CD＝2，则BC＝（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

2. 已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则AB的长为（ ）

A. B. C. 或 D.

3. 若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补，则正确结论的序号为______________。（把你认为正确的结论的序号都填上）

4. 已知⊙O，给出以下四个论断：①直线AB⊥直线OC，②AB是⊙O的切线，③点C在⊙O上，④AB经过点C。请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题：________________________。（用序号的形式写出）