内容发布更新时间 : 2024/12/24 10:32:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
例题精讲
AEO
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理:
如右图,D是BC上任意一点,请你说明:S1:S4?S2:S3?BD:DC
AS2ES3BS1S4DCFBDC
【解析】 三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,
所以有S1:S4?BD:DC;三角形ABE与三角形EBD同高,S1:S2?ED:EA;三角形ACE与三角形
CED同高,S4:S3?ED:EA,所以S1:S4?S2:S3;综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.
【例 1】 如右图,三角形ABC中,BD:DC?4:9,CE:EA?4:3,求AF:FB.
AFBODEC
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27
S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果
能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【答案】27:16
【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?3:4,AE:CE?5:6,求AF:FB.
AFBODEC
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB
【答案】10:9
【巩固】如图,BD:DC?2:3,AE:CE?5:3,则AF:BF?
AECFBDG【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有S△ABG:S△ACG?2:3?10:15,S△ABG:S△BCG?5:3?10:6,所以
S△ACG:S△BCG?15:6?5:2?AF:BF
【答案】5:2
【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?2:3,EA:CE?5:4,求AF:FB.
AFBODEC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果
能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【答案】15:8
【例 2】 如图,三角形ABC被分成6个三角形,已知其中4个三角形的面积,问三角形ABC的面积是多少?
AF84O403035E
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设S△BOF?x,由题意知BD:DC?4:3根据燕尾定理,得
33S△ABO:S△ACO?S△BDO:S△CDO?4:3,所以S△ACO??(84?x)?63?x,
443再根据S△ABO:S△BCO?S△AOE:S△COE,列方程(84?x):(40?30)?(63?x?35):35解得x?56
4S△AOE:35?(56?84):(40?30),所以S△AOE?70
所以三角形ABC的面积是84?40?30?35?56?70?315
【答案】315
【例 3】 如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的中点,点D在BC上,且BD:DC?1:2,AD与BE交
于点F.则四边形DFEC的面积等于 .
ABDCAAEBDFCB33EF312CD
EFBDC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,初赛 【解析】 方法一:连接CF,
SBD1S△ABFAE根据燕尾定理,△ABF??,??1,
S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份,则S△DCF?2份,S△ABF?3份,S△AEF?S△EFC?3份,如图所标
55所以SDCEF?S△ABC?
121211方法二:连接DE,由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?,
33BFS△ABD11121??, S△ADE?S△ADC??S△ABC?,所以
FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?,
223232122115而S△CDE???S△ABC?.所以则四边形DFEC的面积等于.
323125【答案】
12
【巩固】如图,已知BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.