内容发布更新时间 : 2025/3/9 8:42:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§4－6 图乘法

我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分

?MiMEIKds

的数值。这里，Mi、MK是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段，若EI是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。

下面说明图乘法的内容和应用

图4－20所示为直杆AB的两个弯矩图，其中Mi图为一直线。如果该杆截面抗弯刚度EI为一常数，则

MiMEI1EI?Kdx??MiMKdx (a)

以O为原点，以α表示Mi图直线的倾角，则Mi图上任一点标距（纵坐标）可表示为

Mi?x?tan?

因此， ?MiMKdx?tan??xMAABBKdx （b）

式中，（图4－20中画阴影线的部分）；MKdx可看作MK图的微分面积x?MKdx是这个微分面积对y轴的面积矩。于是?xMABKdx就是MK图的面积ω对y轴的

面积矩。以x0表示MK图的形心C到y轴的距离，则

?将上式代人式（b），得到

BAxMKdx??x0

?BAMiMKdx?tan???x0??y0 (c)

其中，y0是在MK图形心C对应处的Mi图标距。利用式（c），式（a）可写成

?BMiMEIKAdx?1EI?y0 （4－ 29）

这就是图乘法所使用的公式。它将式（a）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。

应用图乘法计算时要注意两点：

（1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距y0应取自直线图中。

（2）正负号规则：面积ω与标距y0在杆的同一边时，乘积?y0取正号；ω与y0在杆的不同边时取负号。

图4－21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线

图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。

下面指出应用图乘法时的几个具体问题。

（1）如果两个图形都是直线图形，则标距y0可取自其中任一个图形。 （2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑。对于图 4－22所示的情形，则有

?MiMKdx??1y1??2y2??3y3

（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。

例如，图4－23中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其中一个梯形（MK图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再应用图乘法。因此

?M其中，

?1?y1?23a2l,d3,y2iMKdx??1y1??2y2 （a）

?2?c???212d???c?33?lbl6b(b)

所以:

?MiMKdx?al6(2c?d)?(c?2d)

又如，图 4－24中的MK图可以分解为两个三角形：三角形 ADB在坐标轴以上，三角形ABC在坐标轴以下。这时

?1?y1?y2al??22c32d3al6,d3c3?2?bl2(与?1反侧)(与?2反侧)

?所以:

?MiMKdx?(d?2c)?bl6(d?2c)