内容发布更新时间 : 2024/5/10 5:14:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第六节 对数与对数函数

[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．

x

1．对数的概念

如果a＝N(a＞0且a≠1)，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaa＝b(a＞0，且a≠1)． logcb(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

logca(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②logaM＝nlogaM(n∈R)； ③loga＝logaM－logaN.

3．对数函数的定义、图像与性质

nbbMN

1

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4.反函数

指数函数y＝a(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x＝2log2x.( ) (2)当x＞1时，logax＞0.( )

(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )

2

x?1?(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，?，－1?，函数图像不在第二、

?a?

三象限．( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

1111

2．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )

3323A．a＞b＞c C．c＞b＞a

B．a＞c＞b D．c＞a＞b

1111110

D [∵0＜a＝2－＜2＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，

332322∴c＞a＞b.]

图2-6-1

3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图2-6-1，则下列结论成立的是( ) A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1

2

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D．0＜a＜1,0＜c＜1

D [由图像可知y＝loga(x＋c)的图像是由y＝logax的图像向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]

3

4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )

4

【导学号：66482059】

?3?A.?0，? ?4?

?3?C.?0，?∪(1，＋∞) ?4?

B．(1，＋∞)

?3?D．?，1? ?4?

33

C [当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；

443

当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.

4

?3?即实数a的取值范围是?0，?∪(1，＋∞)．] ?4?

1

5．(2017·杭州二次质检)计算：2log510＋log5＝________，

42

log43

＝________.

【导学号：66482060】

11?21?3 [2log510＋log5＝log5?10×?＝2，因为log43＝log23＝log23，所以2log43＝2log23＝3.]

4?42?

2

11ab (1)设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( )

对数的运算 abA.10 C．20

B．10 D．100 ＝________.

?1?(2)计算：?lg －lg 25?÷100?4?

ab(1)A (2)－20 [(1)∵2＝5＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， 1111

∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ablog2mlog5m∴m＝10.

3