内容发布更新时间 : 2024/5/20 2:35:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

综上所述，HK是G的子群。

65、设H和K都 是G的不变子群。证明：HK也是G 的不变子群。

证明：

先证HK是G 的子群。

对?a?HK，有h?H，k?K，使得a=h·k。因为a=h·k=(h·k·h-1)·h，且K是G 的不变子群，所以h·k·h-1?K。故a?KH。从而HK?KH。

同理可证，KH?HK。

故HK=KH。从而HK是G的子群。 下证HK是G的不变子群。 对?a?G，b?HK，有h

?H，k?K，使得b=h·k。故

a·b·a-1=a·(h·k)·a-1=(a·h·a-1)·(a·k·a-1)。因为H和K都是G的不变子群，所以a·h·a-1?H且a·k·a-1?K。从而a·b·a-1?HK。故HK是G 的不变子群。

66、设为群，a,b,c?G。若a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b，且a,b的阶分别为m,n，则c的阶整除m与n的最大公因子(m,n)。

证明：

设c的阶为k。在a*b=c*b*a两边同时右乘bn?1，再由a*b=c*b*a得

a*bn=(c*b*a)*bn?1=(c*b)*(a*b)*bn?2=(c*b)*(c*b*a)*bn?2 =(c*b)2*a*bn?2=(c*b)2*(a*b)*bn?3=(c*b)2*(c*b*a)*bn?3 =(c*b)3*a*bn?3=…=(c*b)n*a,

再由b*c=c*b及b 的阶为n得

a=a*bn= (c*b)n*a=(cn*bn)*a=cn*a, 所以cn=e。故由元素阶的定义有k|n。

由a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b得a*b=b*a*c，两边同时左乘am?1，再由a*b=b*a*c得

am*b=am?1*(b*a*c)= am?2* (a*b)*(a*c)= am?2*(b*a*c)*(a*c) = am?2*b*(a*c)2= am?3*(a*b)*(a*c)2= am?3*(b*a*c)*(a*c)2 = am?3*b*(a*c)3=…=b*(a*c)m,

再由a*c=c*a及a 的阶为m得

b= am*b= b*(a*c)m=b* am * cm=b*cm,

所以cm=e。故由元素阶的定义有k|m。

由此可见，k是m和n的公因子，从而能整除m和n的最大公因子(m,n)。

（格与布尔代数）

67、当n分别是24，36，110时，是布尔代数吗？若是，则求出其原子集。

解：

因为|S24|=8，|S36|=9，|S110|=8，故不是布尔代数。在中12没有补元，故它也不是布尔代数。是布尔代数，其原子集为{2,5,11}。

68、设L是有界格，且|L|>1。证明：0?1。

证明：

用反证法证明。

设0=1。则任取a?L，则由于L是有界格，故a?1且0?a。即0?a?1。因为0=1且?是L上的偏序关系，所以a=0。这与已知|L|>1矛盾。

69、设(L,≤)是格，若a,b,c?L，a≤b≤c，则

a?b=b⊙c , (a⊙b)?(b⊙c)=(a?b)⊙(a?c)

证明：

因为a?b?c，所以a?b=a，a?b=b=b，且b=b?c，以c=b?c。从而a?b=b?c。 (a?b)?(b?c)=a?(b?c)=a?(a?b)=(a?a) ?b=a?b=b， (a?b)?(a?c)=(b?c)?(a?c)=b?(c?(a?c))=b?c=b。

70、在布尔代数中，证明恒等式a?(a??b)=a?b

证明：

a?(a??b)=(a?a?)?(a?b)=1?(a?b)=a?b

71、设是格，a1,a2,…,an?L。试证：a1?a2?…?an= a1?a2?…?an当且仅当a1=a2=…=an。

证明：

显然是成立的。 ?

? 对任一k=1,2,..,n，a1?a2?…?an?ak，ak?a1?a2?…?an。

因为a1?a2?…?an= a1?a2?…?an，且?是L上的偏序关系，故ak=a1?a2?…

?an。从而a1=a2=…=an。

72、在布尔代数中，证明恒等式(a?c)?(a??b)?(b?c)=(a?c)?(a??b)

证明：

((a?c)?(a??b))?(b?c)=((a?c)?(b?c))?((a??b)?(b?c)) =(a?b?c)?(a??b?c)=(a?a?)?b?c=1?b?c=b?c,

故 b?c?(a?c)?(a??b)，从而

(a?c)?(a??b)?(b?c)=(a?c)?(a??b)。

73、在布尔代数中，证明恒等式(a?b)?(a??c)?(b??c)=(a?b)?c

证明：

(a?b)?(a??c)?(b??c)=(a?b)?((a??b?)?c) =(a?b)?((a?b)??c)=(a?b)?c。

74、设是格，a,b,c,d?L。试证：若a?b且c?d，则 a?c?b?d

证明：

因为a?b，c?d，所以a=a?b,c=c?d。从而

(a?c)?(b?d)=((a?c)?b)?d=(b?(a?c))?d=((b?a)?c)?d =a?(c?d)=a?c，

所以a?c?b?d。

75、当n分别是10,45时，画出的哈斯图。

解：

10 ? ? 45

15? 9? ? 5 ?2 5? 3? 1? ? 1

76、在布尔代数中，证明恒等式

(a?b?)?(b?c?)?(c?a?)=(a??b)?(b??c)?(c??a)

证明：

(a?b?)?(b?c?)?(c?a?)

=(a?b?c)?(a?b?a?)?(a?c??a?)?(a?c??c)?(b??b?c)

?(b??c??c)?(b??c??a?)?(b??b?a?)=(a?b?c)?(b??c??a?)，

(a??b)?(b??c)?(c??a)

=(a??b??c?)?(a??b??a)?(a??c?c?)?(a??c?a)?(b?b??c?)

?(b?b??a)?(b?c?c?)?(b?c?a)=(a?b?c)?(a??b??c?)，

故(a?b?)?(b?c?)?(c?a?)=(a??b)?(b??c)?(c??a)。

77、设是格，a,b?L，且a≤b，记

I[a,b]={x?L|a≤x≤b}

则是的子格。

证明：

由定理6.1.1有a≤x?y≤b且a≤x?y≤b。?x,y?I[a,b],a≤x≤b且a≤y≤b。

从而x?y?I[a,b]且x?y?I[a,b]。故I[a,b] 关于?和?是封闭的，从而是的子格。

78、设A＝{a,b,c}，求的子格（P(A)表示A的幂集）。

解：

P(A)={?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}。在P(A)的所有非空子集中，只要它关于?和?是封闭的，则它就是的子格。

显然和<{?},?>是的子格。

<{?,{a}},?>、<{?,{b}},?>、<{?,{c}},?>、<{?,{a,b}},?>、<{?,{a,c}},?>、<{?,{b,c}},?>、<{?,A},?>、<{?,{c},{a,c},{b,c},A }，?>等都是的子格。

79、证明：在同构意义下，4阶格只有2个。

证明：

若≤是L上的全序关系，则它一定是良序关系(因为任一有限的全序集一定是良序集)。若设L={a,b,c,d}，则L的四个元素满足：a≤b≤c≤d。

若≤不是L上的全序关系，则L中一定存在两个元素（不妨设为b,c），b≤c和c≤b都不成立。因此b?c和b?c既不可能相等，也不可能是b和c。不妨记a=b?c,d=b?c。故的四个元素a,b,c,d满足a≤a,b≤b,c≤c,d≤d,a≤b,a≤c,a≤d,b≤d,c≤d。

d? ?d

c? b? ?c b? a ?

a?

80、设是有界格，?是A上的全序关系。若|A|＞2，则?a?A-{0,1}，a

无补元。

证明：

用反证法证明。

若? a?A-{0,1}，a有补元a'。即a?a'=1，a?a'=0。因为?是A上的全序关系，所以a?a'或a'?a。若a?a'，则a= a?a'=0。若a'?a，则a= a?a'=1。无论如何，这与a?0,a?1矛盾。

81、格是模格??a,b,c?L，有

a?(b?(a?c))=(a?b)?(a?c)

证明：

? ?a,b,c?L，记d= a?c。所以a?d,从而

a?(b?(a?c))= a?(b?d)= (a?b)?d=(a?b)?(a?c)。

? ?a,b,c?L，若a?c，则c= a?c。所以

(a?b)?c= (a?b)?（a?c）= a?(b?(a?c))= a?(b?c)。

82、设是分配格， a,b,c?L。若(a?b)＝(a?c)且(a?b)＝(a?c)，则b＝c。

证明：

由吸收律、分配律和交换律有

b=b?(a?b)＝b?(a?c)=（b?a）?（b?c） =(a?c) ?(b?c)=c?(a?b)= c?(a?c)＝c。

83、证明：在有补分配格中，每个元素的补元一定惟一。

证明：

设是一个有补分配格。?a?L,设b和c都是a 的补元，即

a?b=1,a?c=1,a?b=0,a?c=0。 由吸收律、分配律和交换律有

b= b?0＝b?(a?c)=(b?a)?(b?c)=1?(b?c)=b?c,