内容发布更新时间 : 2024/5/20 3:39:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
或令x?asin?,????????,?. 22??例1：求函数y?2x?1?2x的值域。
1?t2解：令t?1?2x（t?0），则x?，
222∴y??t?t?1??(t?)?125 4135，即x?时，ymax?，无最小值。 2845∴函数y?2x?1?2x的值域为(??,]。
4∵当t?例2．求函数y?(x2?5x?12)(x2?5x?4)?21的值域。
95?9?分析与解答：令t?x2?5x?4??x???，则t??。
42?4?2y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5，
291?1??9?当t??时，ymin????4??5?8，值域为?y|y?8?
416?16??4?例3．求函数y?x?10x?x2?23的值域。 分析与解答：由y?x?10x?x2?23=x?222??x?5?，令x?5?2cos?，
2因为2??x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1，??[0,?]，则
2??x?5?=2sin?，
2于是y???5????2sin??2cos??5?2sin?????5，???[,]，
4444???2????sin?????1，所以5?2?y?7。 24??把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)?0；通过方程有实数根，判别式??0，从而求得原函数
（7）判别式法：
a1x2?b1x?c1的值域。对形如y?（a1、a2不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方
a2x2?b2x?c2程，由于方程有实根，即??0从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。
注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。
x2?x?3例1：求函数y?2的值域。
x?x?1x2?x?3解：由y?2变形得(y?1)x2?(y?1)x?y?3?0，
x?x?1当y?1时，此方程无解；
当y?1时，∵x?R，∴，??(y?1)2?4(y?1)(y?3)?0 解得1?y?1111，又y?1，∴1?y? 33x2?x?311∴函数y?2的值域为{y|1?y?}
3x?x?1（8）函数单调性法：
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，
f?x??ax?b?a?0,b?0?.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。 x例1：求函数y?x?1?2x的值域。
解：∵当x增大时，1?2x随x的增大而减少，?1?2x随x的增大而增大， ∴函数y?x?1?2x在定义域(??,]上是增函数。 12∴y?111?1?2??， 22212∴函数y?x?1?2x的值域为(??,]。 例2．求函数y?x?1在区间x??0,???上的值域。 x分析与解答：任取x1,x2??0,???，且x1?x2，则
f?x1??f?x2???x1?x2??x1x2?1?，因为0?xx1x21?x2，所以：x1?x2?0,x1x2?0，
当1?x1?x2时，x1x2?1?0，则f?x1??f?x2?；
当0?x1?x2?1时，x1x2?1?0，则f?x1??f?x2?；而当x?1时，ymin?2 于是：函数y?x?1在区间x??0,???上的值域为[2,??)。 x构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
例3：求函数f?x??1?x?1?x的值域。 分析与解答：因为??1?x?0??1?x?1，而1?x与1?x在定义域内的单调性不一致。现构
?1?x?0造相关函数g?x??1?x?1?x，易知g(x)在定义域内单调增。gmax?g?1??2，
gmin?g??1???2，?g?x??2，0?g2?x??2，
又f2?x??g2?x??4，所以：2?f2?x??4，2?f?x??2。
（9）基本不等式法
利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。
利用基本不等式a?b?2ab，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用
a?b?2ab求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①a?0,b?0;②a?b?或ab?为定值；③
取等号成立的条件a?b.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数y?x?例1 求函数解:
k(k?0,n?N)的值域。 nxy??x?2x?1的值域.
y?x?2x?1x?1?1x?1?2, 当且仅当x?1时\?\成立. 故函数的值域为y?[2,??).
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
2x2?x?1?1?例2：求函数的值域：y?x???.
2x?1?2?12x2?x?1x?2x?1??1111 解：y???x??x??2?
2x?12x?12x?12x?12211 ?x?,?x??0
2211????2?x???2 12x?12???x????22??1212 ?x?
当且仅当x?1?21时，即x?时等号成立， ?22x?1212?y?2?1?1?，所以元函数的值域为??2,???. 2?2?的值域。
例3. 求函数解：原函数变形为：
当且仅当即当
时
，等号成立
的值域。
故原函数的值域为：
例4. 求函数解：
当且仅当由
可得：
，即当
时，等号成立。
故原函数的值域为：（10）函数有界性法：
利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如y?值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。
asinx?c，由于正余弦函数都是有界函数，
bcosx?dx2?1例1：求函数y?2的值域。
x?1解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得
(y?1)x2??(y?1)，
∵y?1，∴x??2y?1（x?R，y?1）， y?1∴?y?1?0，∴?1?y?1，s y?1x2?1∴函数y?2的值域为{y|?1?y?1}
x?1形如sin??f(y),x2?g(y),因为sin??1,x2?0可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。
2x?1例2．求函数y?x的值域
2?12x?1y?1x解： 由y?x得2?
y?12?1?22?0,?y?1?0?y?1或y??1 y?12cosx?1的值域。
3cosx?2例3：求函数y?1????,??3,??? ??5???1?,3? ?3??例4：求函数y?（11）数型结合法：
2?sinx的值域。
2?sinx如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由
y1?y2可联想到两点?x1,y1?与?x2,y2?连
x2?x1线的斜率或距离。
例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。 解法
1：将函数化为分段函数形式：
3y??2x?1(x??1)?y??3(?1?x?2)，画出它的图象，由图象可知，函数的
?2x?1(x?2)?{y|y?3}。
值域是
-1O2x解法2（几何法或图象法）：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+?]。如图