高中数学求函数值域的7类题型和16种方法 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 1:21:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

或令x?asin?,????????,?. 22??例1:求函数y?2x?1?2x的值域。

1?t2解:令t?1?2x(t?0),则x?,

222∴y??t?t?1??(t?)?125 4135,即x?时,ymax?,无最小值。 2845∴函数y?2x?1?2x的值域为(??,]。

4∵当t?例2.求函数y?(x2?5x?12)(x2?5x?4)?21的值域。

95?9?分析与解答:令t?x2?5x?4??x???,则t??。

42?4?2y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5,

291?1??9?当t??时,ymin????4??5?8,值域为?y|y?8?

416?16??4?例3.求函数y?x?10x?x2?23的值域。 分析与解答:由y?x?10x?x2?23=x?222??x?5?,令x?5?2cos?,

2因为2??x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1,??[0,?],则

2??x?5?=2sin?,

2于是y???5????2sin??2cos??5?2sin?????5,???[,],

4444???2????sin?????1,所以5?2?y?7。 24??把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)?0;通过方程有实数根,判别式??0,从而求得原函数

(7)判别式法:

a1x2?b1x?c1的值域。对形如y?(a1、a2不同时为零)的函数的值域,通常转化成关于x的二次方

a2x2?b2x?c2程,由于方程有实根,即??0从而求得y的范围,即值域。值得注意的是,要对方程的二次项系数进行讨论。

注意:主要适用于定义在R上的分式函数,但定义在某区间上时,则需要另行讨论。

x2?x?3例1:求函数y?2的值域。

x?x?1x2?x?3解:由y?2变形得(y?1)x2?(y?1)x?y?3?0,

x?x?1当y?1时,此方程无解;

当y?1时,∵x?R,∴,??(y?1)2?4(y?1)(y?3)?0 解得1?y?1111,又y?1,∴1?y? 33x2?x?311∴函数y?2的值域为{y|1?y?}

3x?x?1(8)函数单调性法:

确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例如,

f?x??ax?b?a?0,b?0?.当利用不等式法等号不能成立时,可考虑利用函数的单调性解题。 x例1:求函数y?x?1?2x的值域。

解:∵当x增大时,1?2x随x的增大而减少,?1?2x随x的增大而增大, ∴函数y?x?1?2x在定义域(??,]上是增函数。 12∴y?111?1?2??, 22212∴函数y?x?1?2x的值域为(??,]。 例2.求函数y?x?1在区间x??0,???上的值域。 x分析与解答:任取x1,x2??0,???,且x1?x2,则

f?x1??f?x2???x1?x2??x1x2?1?,因为0?xx1x21?x2,所以:x1?x2?0,x1x2?0,

当1?x1?x2时,x1x2?1?0,则f?x1??f?x2?;

当0?x1?x2?1时,x1x2?1?0,则f?x1??f?x2?;而当x?1时,ymin?2 于是:函数y?x?1在区间x??0,???上的值域为[2,??)。 x构造相关函数,利用函数的单调性求值域。

例3:求函数f?x??1?x?1?x的值域。 分析与解答:因为??1?x?0??1?x?1,而1?x与1?x在定义域内的单调性不一致。现构

?1?x?0造相关函数g?x??1?x?1?x,易知g(x)在定义域内单调增。gmax?g?1??2,

gmin?g??1???2,?g?x??2,0?g2?x??2,

又f2?x??g2?x??4,所以:2?f2?x??4,2?f?x??2。

(9)基本不等式法

利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值。

利用基本不等式a?b?2ab,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.如利用

a?b?2ab求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件①a?0,b?0;②a?b?或ab?为定值;③

取等号成立的条件a?b.三个条件缺一不可。此外,有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数y?x?例1 求函数解:

k(k?0,n?N)的值域。 nxy??x?2x?1的值域.

y?x?2x?1x?1?1x?1?2, 当且仅当x?1时\?\成立. 故函数的值域为y?[2,??).

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

2x2?x?1?1?例2:求函数的值域:y?x???.

2x?1?2?12x2?x?1x?2x?1??1111 解:y???x??x??2?

2x?12x?12x?12x?12211 ?x?,?x??0

2211????2?x???2 12x?12???x????22??1212 ?x?

当且仅当x?1?21时,即x?时等号成立, ?22x?1212?y?2?1?1?,所以元函数的值域为??2,???. 2?2?的值域。

例3. 求函数解:原函数变形为:

当且仅当即当

,等号成立

的值域。

故原函数的值域为:

例4. 求函数解:

当且仅当由

可得:

,即当

时,等号成立。

故原函数的值域为:(10)函数有界性法:

利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如y?值域为[-1,1],利用这个性质可求得其值域。

asinx?c,由于正余弦函数都是有界函数,

bcosx?dx2?1例1:求函数y?2的值域。

x?1解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R,对函数进行变形可得

(y?1)x2??(y?1),

∵y?1,∴x??2y?1(x?R,y?1), y?1∴?y?1?0,∴?1?y?1,s y?1x2?1∴函数y?2的值域为{y|?1?y?1}

x?1形如sin??f(y),x2?g(y),因为sin??1,x2?0可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

2x?1例2.求函数y?x的值域

2?12x?1y?1x解: 由y?x得2?

y?12?1?22?0,?y?1?0?y?1或y??1 y?12cosx?1的值域。

3cosx?2例3:求函数y?1????,??3,??? ??5???1?,3? ?3??例4:求函数y?(11)数型结合法:

2?sinx的值域。

2?sinx如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,可借助几何图形的直观性来求函数的值域,如由

y1?y2可联想到两点?x1,y1?与?x2,y2?连

x2?x1线的斜率或距离。

例1:求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。 解法

1:将函数化为分段函数形式:

3y??2x?1(x??1)?y??3(?1?x?2),画出它的图象,由图象可知,函数的

?2x?1(x?2)?{y|y?3}。

值域是

-1O2x解法2(几何法或图象法):∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+?]。如图