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活用数学思想 开启解决数列问题的大门

作者：陈 新

来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第10期

数列是整个高中数学的重点与难点,也是高考中的重点与热点在高考中,数列问题常以等差数列与等比数列的基本性质为起点,综合函数、方程、不等式等知识,通过运用函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法,考察同学们灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,所涉题目往往属中高档题

造成同学们对数列问题感到比较难,解题困难比较多的原因很多,其主要原因是数列问题综合性强和解答过程中对所涉及的数学思想的识别、把握与运用的困难

作为高考复习,掌握数列基本知识和基本方法,是必须的除此之外,更须从数学思想角度认识数列问题,把握数学思想在数列问题中的运用形式,这样才能实现难点的突破 下面试从这一角度进行归纳,望同学们认真感悟,灵活体会

一、运用方程的思想求解等差(比)数列问题

等差(比)数列通项公式和前n项和公式涉及的量有n,a1,d,an,n从方程角度看,两个公式,五个量,只要知道三个量,便可以求其它两个量了,这是所谓的“知三求二”事实上一个等差(比)数列的确定只需确定a基本方法如, 例已知等比数列 an+1-b n+2n+1log

n}的各项均为正数,公比

q≠1,数列 bn}满足b1=20,b7=5,且 b

ma3+ bn-b

1、d(或q),因此解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好设

未知数、列出方程、解方程三个环节就行这种方法我们常称作“基本量法”,它是解决数列问题的

logma1+ b n+2-bnlog

ma5=0,求数列 bn}的通项公式

分析:本题所要求的是通项bn,其关键在于确定数列 bn}的性质题设条件给出了数列 bn}所满足的关系式,看上去很复杂,但因数列 an}为等比数列,所以我们不妨用等比数列基本量来表示等式中an,化简后再观察 解:将log

log

ma

3=

logm a1q

m a1q2=4=log

logma

1+4

ma1+2loglog

mq与

ma5=logmq代入已知等式,整理得

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2 bn-2b n+1+b n+2

log

mq=0,因为q≠1,所以

+452

log

mq≠1,于是有bn-2b n+1+b

1+6d可得

n+2=0,即bn+b n+2=2b n+1,故 bn}是等差数列设其公差为d,则由b7=b

d=-52所以bn=20+ n-1? -52=-52n

可以说,等差数列与等比数列问题,均可以运用方程思想,通过基本量法进行解答然而,美中不足的是,基本量法有时会陷入运算繁锁泥潭中,为此我们要学会寻求化解的手法,常见的办法为:“设而不求,整体代入”,或恰当运用等差比数列性质 例 2已知n等差数列 an}的前n项和,n=m,

m=n n≠m,则 m+n

=

解析:本题利用基本量法可以得到方程组 na1+n n-12d=m,ma1+m m+12d=n ,由此可以

求出a1和d,从而问题得到解决,但若注意整体代换,则能使运算简单

方法 (简解):将方程组中的两式作差得, n-ma1+n+m-12d=m-n,∵n≠m,∴a1+n+m-12d=-1,∴ m+n= m+na1+ m+n m+n-12d= m+na

1+m+n-12d=-m-n

本题运用等差数列的有关性质,构造 m+n公式中与a1+a m+n相等的两项和,则有 方法 2 (简解):不妨设m>n,

+am= m-n a n+1+am2=n-m

2=- m+n

m-n=a n+1+a n+2+a n+3+…+a m-1

+am=-2,∴ m+n

∴a1+a m+n=a n+1= m+n a1+a m+n

通过基本量法建立方程,求解等差(比)数列问题是数列问题中最常见的题型,由上述例子看出,在解此类问题是时候,要注意思考“运用性质建立方程”或“解方程过程中的整体思想”,它可能使问题简单化

二、利用函数的思想求解与数列有关的性质问题

教材上说,“从函数观点看,数列是定义域为正整数集或它的有限子集 1,2,3,…,n上的函数,当自变量从小到大取值时相应的一列函数值”事实上,数列的通项公式及前n项和公式都是项数n的函数,数列是特殊的函数因此,我们在求解与数列有关的性质问题时,如果将问题上升到用函数知识或用函数的思想去求解,那很有可能,打开思路,出现奇迹

如例2,运用等差数列通项公式为关于n的一次函数,其图象为直线上的点列,则有

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解法 3 :∵ an}是等差数列,∴ nn}为等差数列,∴ n,为一直线上的三个点,即 n,mn, m,nm, m+n, m+nm+n-m,求得 m+n

=- m+n

n∈N,则数列 an}的前2011项

nn, m,

mm, m+n, m+n

m+n

m+n三点共线,∴nm-mnm-n= m+n-nm

例 3已知数列 an}的通项公式an=n-2009n-2010中最大项与最小项分别为

分析:寻找最大最小项,如果逐项比较,显然不可取,由于an是关于n的函数,上升为求函数的最大值和最小值,则问题得解

解:因为an=n-2009n-2010=1+2010-2009n-2010

所以,由函数f x=1+2010-2009x-2010图象知,当时n>2010,n∈N+时,{an}为减数列,且各项都大于1;当n

评注:数列的单调性除研究函数图象外,也可从函数单调性定义去研究只不过对于数列有更为简单的充要条件:数列 an}为增数列的充要条件是a n+1>an,为减数列的充要条件是a n+1

例 4已知a>0且a≠1,数列 an}是首项为a,公比为a的等比数列,设bn∈N

,若对任意n∈N恒成立,求实数a的取值范围

n=an

lgan

分析:本题运用基本量法很易表示出数列通项,进而得通项,对于对任意恒成立”条件,我们可以运用函数的恒成立问题解法去解答

评注:不等式恒成立问题是函数的重要内容之一,在数列中也不例外,有时此类问题可以改成探究性问题,如本题改为“已知a>0且a≠1,数列 an}是首项为a,公比为a的等比数列,设bn=an

lgan n∈N

,则是否存在实数a使得bn

由上看出,数列是函数的特例,在数列问题解答过程中遭遇困难的时候,应该上升到函数层面去思考与探究

三、利用等价转化思想求解数列的通项与和问题