内容发布更新时间 : 2024/11/18 22:40:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十一讲 数阵图与数字谜

编写说明

在四年级秋季第九、十讲和春季第三讲我们对数阵图进行了讲解，在寒假第6、7讲对数字谜进行了讲解. 本讲我们将针对这两部分知识进一步巩固和提高. 此部分内容我们在一步步分析时比较占用时间，所以本讲的例题量设置较少！同时教师也可用来缓解前几讲习题的压力！

你还记得吗

【复习1】请你把1～7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？

分析：关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如右下图.设每条直线上的数字和为k.

根据题意可得：2a＋28=3k 由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,经过尝试可知:a为1、4或7.

若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9. 得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5. 若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8. 得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.

若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7. 得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.

【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.

分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次. 所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.

因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由

中心数在1至7之间，所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12.中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5. 于是得到右下图的填法.

【复习3】在右图所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？

分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排除）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”

相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，

（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；

（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以. 所以“数字谜”代表的三位数是965.

数 阵 图

数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n阶幻方的定义与三阶幻方相仿！

【例1】 （1）将九个数填入下图（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为

k.请你说明理由！ 3

（2）将九个数填入下图（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：e?a?b.请你说明理由！ 2

（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：c?a?b.请你说明理由！ 2

分析：（1）因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右下图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k， 3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格中的数=

k 3a?b. 2（2）和=3e ，a+e+b=和=3e，所以a+b=2e，即得：e?

（3）设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由此可得右图，那么有：c +（2d-b）= a +（2d-c），由此可得：c?a?b. 2值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同.

【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.

分析：右下角的数为（8＋10）÷2=9，中心数为（5＋9）÷2=7，且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图 的填法.

【巩固】（必讲题目）在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .

分析：中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8，7，6．另两个角上的数，和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9，不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：

【例2】 将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方.