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油罐标尺刻度的设计

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油罐标尺刻度的设计

摘要：

通过对油罐的理想化处理，本文将问题分成两个步骤，在步骤一中，建立了两个模型：解析模型和数值解法模型；在步骤二中，建立了两个模型：插值模型和二分逼近模型。在步骤一中，本文通过数据说明了数值解法对于复杂问题的精确逼近，可以替代解析方法。在步骤二中，比较两个模型三种方法，找出了它们的不同适用条件。

关键词：插值法 二分逼近法 标尺设计 解析法 数值精度

Abstract:

Through the tank of idealized treatment, this paper will problem is divided into two steps, in step one, set up two models: analytical model and numerical solution model. In step 2, set up two models: interpolation model and binary approximation model. In step one, this paper through the data indicates that the numerical solution for the complicated problem of accurate approximation, can replace analytic method. In step 2, compare two model three methods, find out their different applicable conditions.

Keywords: Interpolation method binary approximation method scale design analytic method numerical accuracy

一、 问题重述

在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经常使用大量的储油罐。油罐的外形为一个圆柱体和两个圆锥体的组合。上端有一注油孔。由于经常注油和取油。一般很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。为此，希望设计一个精细的标尺能满足如下要求：工人只需将该尺垂直插入使尺段至油罐的最低部，就可以根据标尺上的痕迹的刻度获知剩油量的多少。

即：设计出一个精细的标尺能精确地知道剩油量的多少。

二、 问题分析

本题中，要求设计出一个精细的标尺。通常，刻度尺用来测量比较简单的几何体的某一维度。这里要测量油罐的剩油量，其实就是测量复杂几何体的容积问题。

同时要求把几何体的容积转化成一维上的刻度。

在本文中，我们采取两种步骤：在步骤一，求出复杂几何体在高度成等差数列时下的对应体积；在步骤二，利用已经求出的刻度处的油量，通过插值或二分逼近法求标尺上对应的剩油量体积。

三、 模型假设

在实际情况中，油罐的外形并不一定十分地完美，圆锥体和圆柱体的结合处也不一定十分光滑。

在此，为了便于计算和分析，特作如下假设：

1、油罐的外形由理想的圆锥体和圆柱体组合而成；

2、油罐的圆柱部分和圆柱部分的结合处无缝隙、十分平滑； 3、油罐处在水平面上；

4、测量油量时，标尺粘带的油量对总油量的影响忽略不计；

四、 符号系统

R：圆柱底面半径和圆锥底面半径（两者数值一样） L：圆柱长度 A：圆锥高

H：标尺被油浸湿位置的高度 V：油罐内的油量

Vc(H)：圆柱中的储油量Vb(H)：圆锥中的储油量 S(H)：圆柱截面中储油部分对应的弓形区域面积 ?：弓形对应的圆心角一般（图7.2） r ：该弓形的半径 h ：该弓形的高

Q(H,x):：圆锥体底面平行且距底面x处截面上表示储油部分的弓形区域面积（图7.3）

?H：将区间[0,R]作n等分，一份大小